4. Примеры решения задач

Первая из задач раздела “Электромагнетизм” посвящена определению индукции магнитного поля в заданной точке посредством формул, вытекающих из закона Био-Савара-Лапласа, с использованием принципа суперпозиции магнитных полей. В задачах используются следующие комбинации проводников с током: параллельные или перекрещивающиеся бесконечно длинные проводники, бесконечно длинный проводник, согнутый под некоторым углом, бесконечно длинный проводник и круговой контур, два соосных круговых контура, отрезок проводника, квадратная рамка. Возможны и другие аналогичные комбинации. При решении необходимо представить рисунок с изображением векторов индукции магнитного поля, создаваемых отдельными проводниками системы, и результирующий вектор . Для расчёта отдельных составляющих следует выбрать соответствующую формулу из номеров (3.6 –3.10).

Пример 4.1. По отрезку прямого провода BC длиной l = 80 см течёт ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудалённой от концов отрезка провода и находящуюся на расстоянии r_o = 30 см от его середины.

B C Дано	Решение
A l = 80 см = 0,8 м I = 50 А ro = 30 см = 0,3 м BA = CA μ = 1 μo = 4π·10-7 Гн/м		Применим формулу для отрезка проводника с током, вытекающую из закона Био-Савара-Лапласа . (1) При симметричном расположении точки А относительно отрез- ка провода . (2)
BA - ?
С учётом (2) формула (1) примет вид: . (3) Из рисунка следует, что . (4) Подставив выражение (4) для в формулу (3), получим . (5) Проверку размерностей в полученной рабочей формуле производить нет необходимости, поскольку единственное преобразование состояло в получении выражения для , а оно явно является безразмерным. Подставим численные значения исходных величин в формулу (5) и произведём соответствующие вычисления Тл = 26,7 мкТл. Ответ: BA = 26,7 мкТл Пример 4.2. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, находящимся на расстоянии R = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи I1 = 20 А и I2 = 30 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами, в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба провода, если 1) точка C лежит на расстоянии r1 = 2 см левее левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии r2 = 3см правее правого провода; 3) точка G лежит на расстоянии r3 = 4 см правее левого провода.

Дано	Решение
I1 = 20 А I2 = 30 А R = 10 см = 0,1 м r1 = 2 см = 0,02 м r2 = 3 см = 0,03 м r3 = 4 см = 0,04 м μ = 1 μo = 4π·10-7 Гн/м	B1C I1 B2G I2 B2C C G D r3 B1G B1D r1 R r2 B2D Для расчёта магнитной индукции каждого из проводников применим формулу для бесконечно длинного проводника с током . (1)
BC - ? BD - ? BG - ?
Индукцию результирующего магнитного поля найдём на основании принципа суперпозиции магнитных полей . (2) Направление составляющих векторов индукции находим по правилу буравчика. В точке C направления векторов совпадают, следовательно, подставляя в (2) конкретные значения параметров формулы (1), получим . (3) В точке D направления векторов также совпадают, следовательно, имеем . (4) В точке G направления векторов противоположны, следовательно, имеем . (5) Проверку размерностей в полученных рабочих формулах производить нет необходимости в силу отсутствия алгебраических преобразований. Подставим численные значения исходных величин в формулы (3)- (5) и произведём соответствующие вычисления = 2,5·10-4 Тл = 0,25 мТл. Аналогично в точке D = 0,23 мТл; в точке G = 0. Ответ: ВΣС = 0,25 мТл; ВΣD = 0,23 мТл; ВΣG = 0

Пример 4.3. Бесконечно длинный проводник с током I = 50 А согнут под прямым углом. Найти напряжённость магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии d = 10 см.

Дано	Решение
I = 50 А d = 10 см = 0,1 м	I r1 HA A π/4 d π/4 π/4 r2 I 00	Изогнутый провод можно рассматривать как два полубесконечных отрезка и применить к ним соответствующую формулу . (1)
HA - ?
При этом для первого проводника , α2 = 135° , для второго проводника = 45° , → 180°. Кратчайшее расстояние от точки А до обоих проводников найдём из простых геометрических соображений: r1 = r2 = d·sin45°. Индукцию результирующего магнитного поля найдём на основании принципа суперпозиции магнитных полей . (2) Направление составляющих векторов индукции находим по правилу буравчика. В точке А направления векторов совпадают, следовательно, подставляя в (2) конкретные значения параметров формулы (1), получим . (3) Проверку размерностей в полученных рабочих формулах производить нет необходимости в силу отсутствия алгебраических преобразований. Подставим численные значения исходных величин в формулу (3) и произведём соответствующие вычисления = 384,46 А/м Ответ: HA = 384,46 А/м

Вторая группа задач основана на применении закона Ампера либо формулы силы Лоренца. Для задач на силу Ампера используются варианты проводника с током, помещённого в однородное магнитное поле, взаимодействия двух проводников с током, трёх проводников с током либо проводника с током и квадратной рамки. Для проводника с током, помещённого в магнитное поле, используется формула (3.12), для двух параллельных проводников – формула (3.13), для трёх параллельных проводников либо проводника и квадратной рамки к формуле (3.13) добавляется принцип суперпозиции сил. Для задач на силу Лоренца используются варианты движения заряженной частицы в однородном магнитном поле по окружности либо по винтовой линии, а также движения заряженной частицы в поле, создаваемом бесконечно длинным проводником с током, индукция которого находится по формуле (3.8). Величина силы Лоренца находится по формуле (3.16); поскольку сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости частицы, она сообщает ей центростремительное ускорение. Поэтому для решения задач о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле необходимо использовать второй закон Ньютона и формулу центростремительной силы.

Пример 4.4. По трём прямым параллельным проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d =20 см друг от друга текут одинаковые токи I = 400А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него, к его длине.

Дано	Решение
I1 = I2 = I3 = 400 А d12 = d23 = d13 = 20 см = = 0,2 м	F3 α3 F32 F31 d13 d23 F12 F21 F13 F1 F2 F23 α1 α2	На рисунке изображены силы Ампера, действующие на каждый из проводников со стороны соседних. Проводники 1 и 2, в которых токи текут в одном направлении, притягиваются, проводники 1и 3, 2 и 3, в которых токи текут в
F1 - ? F2 - ? F3 - ?
противоположных направлениях, отталкиваются. Силы Ампера взаимодействия двух длинных параллельных проводников находим по формуле . (1) Соответственно сила, действующая на единицу длины проводника, будет находиться как . (2) Результирующая сила, действующая на единицу длины проводника со стороны двух соседних, будет находиться по правилам векторной алгебры ; ; (3) . Из треугольников сил очевидно, что F1/l = F12/l = F13/l; F2/l = F21/l = F23/l. Численное значение силы F3/l найдём из теоремы косинусов , (4) где α3 = 120° (cos120° = -0,5).

Проверку размерностей в полученных рабочих формулах производить нет необходимости в силу очевидности алгебраических преобразований.

Найдём численные значения сил

А/м.

А/м.

Ответ: F₁/l = F₂/l = 0,16 А/м; F₃/l = 0,27 А/м

Пример 4.5. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус окружности.

Дано	Решение
qp = 1,6·10-19 Кл mp = 1,67·10-27 кг U = 600 B B = 0,3 Тл		Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле происходит по окружности в случае, когда частица влетает в магнитное поле перпендикулярно вектору магнитной индукции. Так как сила Лоренца пер-
R - ?

пендикулярна вектору скорости , то она сообщает протону нормальное ускорение . Согласно второму закону Ньютона,

. (1)

Модуль силы Лоренца находится по формуле

, (2)

где α = 90^о в случае круговой траектории частицы.

Нормальное ускорение находится по формуле

. (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

, (4)

откуда радиус траектории протона будет равен

. (5)

Скорость протона найдём, воспользовавшись связью между работой сил поля и изменением кинетической энергии протона

, (6)

откуда скорость протона

. (7)

Подставляя (7) в (5), получим

. (8)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу длины (м)

.

Следовательно, выведенная формула (8) имеет правильный физический смысл. Подставим численные значения в формулу (8)

см.

Ответ: R = 1,18 см

Пример 4.6. Электрон, имея скорость = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B = 30 мТл под углом α = 30^о к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Дано	Решение
= 1,6·10-19 Кл me = 9,1·10-31 кг = 2 Мм/с = 2·106 м/с В = 30 мТл = 3·10-2 Тл α = 30о
R - ? h - ?

На заряженную частицу (в нашем случае электрон), влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции и скорости частицы:

. (1)

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Поэтому и значение силы Лоренца будет оставаться постоянным, как это следует из формулы (1). Из механики известно, что постоянная по величине сила, перпендикулярная вектору скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле под углом к вектору индукции, будет одновременно двигаться по окружности со скоростью v_⊥ = v•sinα и прямолинейно вдоль поля со скоростью v_ǁ = v•cosα. В результате одновременного участия в этих двух движениях траектория электрона будет представлять винтовую линию (см. рисунок).

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдём, приравнивая силу Лоренца (1) к центростремительной силе (2)

. (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим

, (3)

откуда радиус окружности, описываемой электроном,

. (4)

Период обращения электрона по окружности

. (5)

Шаг винтовой линии равен пути, проходимому электроном вдоль поля со скоростью v_x за период

. (6)

Подставив числовые значения, получим

= 0,19 мм;

мм. = 2,06 мм.

Ответ: R =0,19 мм; h = 2,06 мм

Третья из задач посвящена явлению электромагнитной индукции и описывающему это явление закону Фарадея (3.23). В задачах этой группы используются различные способы изменения магнитного потока, пронизывающего контур или катушку. В одних вариантах задаётся закон изменения магнитного потока Φ (индукции В, напряжённости магнитного поля Н), пронизывающих неподвижный контур или катушку. Закон может быть линейным или синусоидальным, и представлен либо уравнением, либо графически. В случае графического представления необходимо по заданной зависимости составить соответствующее ему уравнение. Напряжённость магнитного поля Н переводится в индукцию В с помощью формулы (3.1), индукция В - в магнитный поток Φ с помощью формулы (3.19); выражение для магнитного потока подставляется в закон Фарадея (3.23), после чего выполняется операция дифференцирования магнитного потока по времени.

В задачах на два соосных контура по заданному закону изменения тока в большом контуре необходимо найти закон изменения магнитного потока, пронизывающего малый контур с помощью формулы (3.6).

В других вариантах магнитное поле постоянно, а в нём рамка либо вращается, либо растягивается так, что её площадь обращается в ноль. Возможны варианты, когда требуется определить разность потенциалов (напряжение) на концах проводящего стержня, движущегося поступательно или вращающегося в магнитном поле. В задачах этого типа необходимо найти закон изменения площади S(t) и подставить его формулу магнитного потока (3.19); последующий порядок расчёта совпадает с рассмотренным выше.

В случае протекания через индуктивную катушку изменяющегося тока возникает явление самоиндукции; в данном случае следует пользоваться формулой (3.27).

Пример 4.7. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается с частотой n = 300 оборотов в минуту вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной l = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определить разность потенциалов U на концах стержня.

Дано	Решение
В = 0,02 Тл l n = 300 мин-1 = 5 c-1 l = 0,5 м α = 0°		Разность потенциалов U, возникающая на концах стержня, будет равняться ЭДС индукции ℰi, определяемой в соответ- ствии с законом Фарадея
U - ?

ℰ_i = . (1)

Магнитный поток в общем случае находится как

. (2)