Подставляя числовые значения в выражение для а, получим

.

Пример 4.Маховик вращается с частотой n = 720 об/мин. После выключения двигателя он останавливается, совершив N = 360 оборотов. Определить угловое ускорение маховика, считая, что он двигался равнозамедленно.

Решение. Угловая скорость равнозамедленного вращения находится по формуле:

,

где ω₀ – начальная угловая скорость, ε - угловое ускорение.

В нашем случаем ω₀ = 2πn, t – время движения с момента выключения двигателя до полной остановки (ω = 0).

Таким образом, получаем:

0 = 2πn – εt. (1)

Зависимость угла поворота от времени при равнозамедленном движении имеет вид:

.

С учетом того, что φ = 2πN, а ω₀ = 2πn, имеем:

. (2)

Выразив t из уравнения (1) и подставив в (2), получим:

.

После упрощения находим, что

,

откуда следует, что угловое ускорение равно:

.

Подставляя в полученную рабочую формулу числовые значения (N = 360; n = 720 об/мин = 12 об/с), находим

.

Пример 5. Через невесомый блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы массой m₁ = 0.04 кг и m₂ = 0.06 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы?

Решение. Силы, действующие на тела, и направление выбранной оси ОХ указаны на рис. 2.

N

T₁ T₂

g

a₁ a₂

T₁

m₁ T₂ X

m₁g m₂

m₂g

Рис.2

Запишем формулу второго закона Ньютона для каждого из тел системы:

.

Запишем проекции этих векторных равенств на ось ОХ:

.

Так как по условию блок и нить невесомы, то, согласно третьему закону Ньютона, Т₁ = Т₂ = Т.

Так как по условию нить нерастяжима, а₁ = а₂ = а.

С учетом этого получаем:

Вычтем из (2) выражение (1):

откуда

.

Проверим рабочую формулу:

.

Подставляя числовые значения, получаем:

.

Пример 6. Решить предыдущую задачу, считая, что масса блока m = 0.04 кг. Блок считать однородным диском.

Решение. Силы, действующие на тела системы, изображены на рис.2. Так как блок в данной задаче нельзя считать невесомым, то мы должны рассматривать движение обоих грузов и блока.

Запишем для грузов второй закон Ньютона:

.

В проекциях на ось ОХ:

.

Основной закон динамики вращательного движения блока:

,

здесь ε – угловое ускорение блока, R – радиус блока, - момент инерции блока (однородного диска) относительно оси вращения.

Если нить нерастяжима и не проскальзывает относительно блока, то а₁ = а₂ = = а = εR.

С учетом сказанного выше система уравнений движения тел приобретает вид:

Исключив из системы Т₁ и Т₂, получаем уравнение для определения ускорения движения грузов:

.

Таким образом:

.

Проверим рабочую формулу:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 7. Какая энергия пошла на деформацию двух столкнувшихся тел массами m₁ = m₂ = 4кг, если они двигались навстречу друг другу со скоростями v₁ = 8 м/с и v₂ = 3 м/с, а столкновение было центральным и абсолютно неупругим?

Решение. Систему сталкивающихся тел относительно горизонтального направления можно считать замкнутой. Так как суммарный импульс замкнутой системы сохраняется, то

,

где - скорость движения тел после абсолютно неупругого удара (рис.3).

m₁ + m₂

m₁ v₁ v₂ m₂ v

0 X 0 X

до удара после удара

Рис.3

В проекции на ось ОХ:

.

Отсюда находим:

. (1)

Энергию деформации найдем как разность механических энергий системы до

удара (Е₀) и после удара (Е):

.

С учетом (1), получаем:

.

Подставив числовые значения, находим:

.

Пример 8.Найти скорости тел (см. предыдущую задачу) после абсолютно упругого удара.

Решение. В случае абсолютно упругого удара систему тел можно считать замкнутой и консервативной. Таким образом, для решения задачи можно использовать законы сохранения импульса и механической энергии.

Закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ (рис.4) имеет вид:

, (1)

где u₁ и u₂ скорости тел после удара.

v₁ v₂ u₁ u₂

0 X 0 X

до удара после удара

Рис.4

Закон сохранения механической энергии:

. (2)

Преобразуем уравнения (1) и (2):

; (3)

. (4)

Разделив почленно (4) на (3), получаем:

.

Отсюда выразим

и подставим в уравнение (1):

.

Решая полученное уравнение, находим:

.

Подставив числовые значения в рабочую формулу, получаем:

.

Знак "-" означает, что направление вектора u₁ противоположно указанному на рис.4.

Далее находим u₂:

.

Пример 9. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1.5 м и массой m₁ = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n = 10 мин^–1. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения Z равен нулю. При этом проекция L_Z суммарного момента импульса системы человек-платформа сохраняется:

,

где J_Z – момент инерции платформы с человеком относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращения платформы.

В исходном состоянии

,

так как человек находится в центре платформы.

В конечном состоянии

.

Таким образом,

.

С учетом того, что начальная угловая скорость ω = 2πn, а конечная - ω΄ = v/R, получаем для v:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 10. Диск, катившийся по горизонтальной поверхности со скоростью v₁ = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью v₂ = 2 м/с. Масса диска равна m = 3 кг. Определить изменение кинетической энергии диска.

Решение. Кинетическая энергия диска равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движения:

.

Здесь

где m – масса диска, v – скорость поступательного движения, - момент инерции диска относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, R – радиус диска.

С учетом этого получаем:

.

Кинетическая энергия диска до удара о стену:

;

а после удара:

.

Изменение кинетической энергии:

.

Подставив числовые значения, произведем вычисления:

.

Знак "-" показывает, что кинетическая энергия после удара уменьшилась.