Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция - векторная алгебра.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
629.76 Кб
Скачать

3. Понятие -мерного вектора и векторного пространства

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим понятие вектора и дадим определение векторного пространства.

-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записанных в виде , где - -ая компонента вектора (компоненты -мерного вектора удобно обозначать одной буквой, но с разными индексами (в отличие от двух и трехмерных векторов, компоненты которых обозначают разными буквами), а сам вектор – той же буквой).

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

Суммой двух векторов одинаковой размерности называется вектор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов.

Произведением вектора на действительное число называется вектор, компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора .

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1°. ;

2о. ;

3°. существует единственный вектор такой, что справедливо равенство: ;

4°. такой, что ;;

5°. ;

6°. ;

7°. ;

8°. ,

Вектор называется противоположным вектору . Вектор называется нулевым вектором. Сумма векторов называется разностью и обозначается: .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие свойствам 10-80 (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством и обозначается .

Следует отметить, что под векторами можно рассматривать и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством и обозначается .

Линейным пространство является, например, множество всех матриц одинакового порядка, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа .

Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени точно равной , не является линейным пространством, так как на нем не определена операция сложения, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени меньше .

Выражение вида называется линейной комбинацией векторов . Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если

и нетривиальной, если . Далее будем использовать факт, что

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если равенство нулевому вектору возможно лишь для тривиальной линейной комбинации, то система векторов называется линейно независимой.

Таким образом:

система векторов линейно зависима, если такие, что

система векторов линейно независима, если справедливо

Утверждение 1. Система из n (n > 1) ненулевых векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Линейное (векторное) пространство называется - мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые векторов уже являются линейно зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Число называется размерностью пространства и обозначается . Для обозначения n-мерного пространства используется символ .

Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

  • она линейно независима;

  • любой вектор из L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть таких векторов в системе n штук. Обозначим эти векторы: . Коэффициенты линейной комбинации векторов, о которой идет речь в определении, называются координатами вектора в базисе , т.е., если , то

и тогда – координаты вектора в базисе . Обозначим через Х матрицу-столбец, состоящую из координат вектора , через e – матрицу-строку, состоящую из векторов базиса , тогда

Утверждение 2.

Координаты любого вектора определяются в базисе e однозначно.