Мал. 2.9. Геометричний метод відділення кореня.

Корінь знаходиться усередині відрізка [3 ; 4]. Перевіримо:

Оскільки, то відрізок містить, принаймні, один корінь. Обчислимо похідні: . Обидві похідні на відрізку зберігають постійний (більше нуля) знак, отже, корінь єдиний. Оскільки на відрізку , то як нульове наближення вибираємо лівий кінець відрізка, де . Нерухомий правий кінець відрізку - точка .

Знайдемо перше наближення:

Оцінимо похибку першого наближення

Обчислимо друге наближення:

Оцінимо похибку:

Отримали шукане наближене рішення, що задовольняє заданій точності.

2.2.5 Метод половинного розподілу.

Нехай дано рівняння . Необхідно знайти наближене значення кореня на відрізку , що містить ізольований корінь . Ділимо відрізок на дві рівні частини. Якщо , то - точний корінь. В протилежному випадку, будуємо відрізок , вибираючи один з відрізків, той, в якому значення функції на кінцях відрізка мають протилежні знаки. Відрізок знов ділимо на дві рівні частини і так дали.

В результаті отримаємо послідовність вкладених один в одного відрізків: для якого справедливо: (2.5)

Ліві кінці відрізків є не спадною послідовністю:

праві кінці – не зростаючу послідовністю.

Обидві послідовності обмежено.

Помітимо, що довжина відрізка визначається формулою:

Переходимо до границі:

,

отже .

Перейдемо до границі в нерівності (2.5), отримаємо:

,

отже: .

Тоді - корінь рівняння.

Процес дроблення продовжується до тих пір, поки довжина останнього відрізка не стане менше 2, де  - задана точність. Як наближене рішення вибирається середина останнього інтервалу.

Питання для самоперевірки

1. Які джерела похибки наближеного рішення?

2. Що називається абсолютною похибкою наближеного числа?

3. Що називається відносною похибкою наближеного числа?

4. Які правила дій з наближеними числами?

5. Які етапи відшукання наближеного значення коренів рівняння?

6. Як виділяються відрізки, що містять ізольований корінь рівняння?

7. Яким чином реалізується метод ітерацій?

8. Яка похибка наближеного рішення отриманого за методом ітерацій?

9. Як знаходиться рішення за методом хорд і яка його похибка?

10. Як вибирається нульове наближення для методу дотичних і будується послідовність наближень?

11. Яка похибка рішення, побудованого за методом дотичних?

12. Яким чином реалізується метод половинного розподілу?

Використовувана література

1. [1] стор. 173-193

2. [2] стор. 61-79

3. [3] стор. 4-18

3. Лекція 3. Метод найменших квадратів.

План лекції

1. Методи побудови математичних моделей

2. Побудова лінійної моделі.

3. Побудова квадратичної моделі.

4. Побудова експонентної моделі

3.1 Методи побудови математичних моделей

В інженерній практиці значне місце займає проблема побудови математичної моделі технологічного об'єкта з метою дослідження його й відшукання оптимальних умов роботи. Серед існуючих методів побудови математичних моделей виділяються два походи:

1. побудова теоретичної моделі на базі фізико-математичного, фізико-хімічного й іншого аналізу технологічного процесу.

2. експериментальна ідентифікація, при якій інформацію про процес одержують шляхом безпосереднього виміру.

Реальні технологічні процеси, як об'єкти керування й оптимізації, у більшості випадків є нестаціонарними, нелінійними, багатомірними з багатьма внутрішніми зворотними зв'язками, невелика або повністю відсутня апріорна інформація про форму й ступінь взаємозв'язку між параметрами в реальних умовах експлуатації. Тому, найбільш прийнятні в промислових умовах експериментальні методи ідентифікації.

По способі нагромадження експериментальних дані методи ідентифікації діляться на активні й пасивні методи. При проведенні пасивного експерименту здійснюється реєстрація параметрів, що цікавлять, у режимі нормального функціонування технологічного процесу. Як математичний апарат для визначення невідомих параметрів моделі найбільше часто використовується метод максимальної правдоподібності, зокрема метод найменших квадратів.

Активний експеримент ( планований) заснований на введенні в досліджуваний технологічний процес штучних збурювань і забезпечує зменшення числа досвідів в експерименті, одночасне варіювання всіма факторами експерименту, сполучення евристичних і формальних підходів , наявність чіткої й обґрунтованої стратегії експерименту, економію часу й засобів на виконання експерименту.

Нехай дані результати N експериментів.

			...
			...

Потрібно побудувати модель, що дає найкраще наближення. Для обчислення коефіцієнтів моделі будемо використовувати метод найменших квадратів: сума квадратів відхилень експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі повинна бути мінімальна. Розглянемо побудову 3-х видів моделей: лінійну, квадратичну, експонентну. 3.2 Побудова лінійної моделі.

Потрібно за результатами експериментів побудувати лінійну модель . Розглянемо функцію :

Щоб знайти мінімальне значення цієї функції, обчислимо частки похідні й дорівняємо їх нулю. Одержимо систему рівнянь.

Розкриваючи дужки, одержимо

Для зручності обчислень, занесемо вихідні дані й розрахунки в таблицю.

i
1
2
…

Вирішуючи систему щодо коефіцієнтів й , одержуємо шукане рівняння моделі.

Приклад 3.1.

Дани результати 5 дослідів:

	-1,8	0,4	0,6	2	2,9
	1,6	1	0,8	0,6	0,5

1. Знайти коефіцієнти лінійної моделі методом найменших квадратів.

2. Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності.

3. Побудувати графік, застосовує .

1) Знайдемо коефіцієнти лінійної моделі методом найменших

квадратів. Треба по зазначеної формулі підібрати

коефіцієнти моделі й .

Побудуємо таблицю:

i
1	-1.8	3.24	1.6	-2.88
2	0.4	0.16	1	0.4
3	0.6	0.36	0.8	0.48
4	2	4	0.6	1.2
5	2.9	8.41	0.5	1.45
	4.1	16.17	4.5	0.65

Отримуємо систему

Знайдемо и , вирішуючи систему рівнянь. Для того, виразимо коефіцієнт з другого рівняння системи

=

Підставимо у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо

16.17+4.1(0.9-0.82) = 0.65 .

Знайдемо коефіцієнти:

, 1.09457

Зазначена залежність

б) Знайти відхилення експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі

вихідні дані		результат
-1.8	1.6	1.521861	0.006106
0.4	1	0.999688	9.75E-08
0.6	0.8	0.952217	0.02317
2	0.6	0.619925	0.000397
2.9	0.5	0.406309	0.008778
			0.038451

визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х у рівняння моделі

= - 0.23728 (-1.8) + 1. 09457 = 1.521861

.................................................................................

= - 0.23728 (0.5) + 1. 09457 = 0.406309

Відхилення:

...........................................................................

4. Побудуємо графік, застосовує

х		x*x	x*y
-1,8	1,6	3,24	-2,88	1,5218613	0,006106
0,4	1	0,16	0,4	0,9996877	9,75E-08
0,6	0,8	0,36	0,48	0,9522174	0,02317
2	0,6	4	1,2	0,6199251	0,000397
2,9	0,5	8,41	1,45	0,4063086	0,008778
4,1	4,5	16,17	0,65		0,038451

3.3