3. Метод Ньютона (дотичних).

Хай відрізок, що містить ізольований корінь рівняння і функція , неперервна на разом з першою і другою похідними, причому обидві похідні зберігають постійний знак. Розглянемо окремий випадок.

Хай: ;;;

Мал. 2.5. Геометрична інтерпретація методу дотичних

В якості вибираємо точку відрізка [а, b], для якої виконана умова , тобто знак функції в точці співпадає із знаком другої похідної. (на прикладі ). В точці В () проведемо дотичну до кривої .

Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину дотичної з віссю 0х . В точці В1 () проводимо дотичну і в якості вибираємо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох і так дали. В точці В_n() проводимо дотичну:

Абсциса точки перетину цієї дотичної з віссю Ох дає наближення, тобто підставляючи в рівняння (2.3), отримаємо .

Th. Нехай безперервна разом з і на відрізку , що містить єдиний корінь рівняння і обидві похідні зберігають на постійний знак. Тоді, виходячи з нульового наближення, що задовольняє умові , можна знайти, використовуючи метод Ньютона, наближене рішення з будь-яким степенем точності.

Похибку наближеного рішення , отриманого по методу Ньютона, визначається формулою:

, де , .

Приклад 2.1.

Відділити корінь рівняння графічно і знайти наближене рішення рівняння методом дотичних з точністю  = 0.005.

Відділимо корінь. Побудуємо графіки функцій і . Абсциса точки їх перетину - точне значення кореня.

Складемо таблицю значень:

Таблиця 2.1

x	-1	0	1	2
		1	2	4
4-x	5	4	3	2

Мал. 2. 6. Геометричний метод відділення кореня.

Як видно з рисунка, корінь рівняння укладений в інтервалі [1;2]. Перевіримо це.

Таким чином інтервал [1;2] містить принаймні один корінь. Знайдемо похідні:

Обидві похідні зберігають в інтервалі [1;2] постійний знак, отже корінь єдиний.

Виберемо нульове наближення з умови . Оскільки , то в якості вибираємо правий кінець інтервалу . Знаходимо перше наближення:

Оцінимо похибку:

Оскільки монотонно зростаюча функція на інтервалу [1;2], тоді

.

Оскільки - так само монотонно зростає на інтервалу [1;2] , тоді

Похибка першого наближення

Обчислимо друге наближення:

Оцінимо похибку другого наближення:

Оскільки похибка менше заданої точності, то - шукане наближене значення кореня рівняння .

2.2.4 Метод хорд.

Нехай – відрізок з єдиним коренем рівняння , і функція безперервна разом з і на , причому обидва похідні зберігають знак. Нехай:

;;;.

Проведемо хорду, що сполучає точки і . Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Через точку і точку проведемо хорду.

Мал. 2.7. Геометрична інтерпретація методу хорд

(нерухома точка )

Знаходимо , як абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Будуємо точку хорду і так дали. Рівняння хорди, що проходить через точки і , має вигляд:

( 2.4 )

Абсциса точки перетину хорди з віссю Ох дає наближення кореня рівняння. Підставимо в (2.4) , отримаємо. Виразимо наближення :

В наведеному приклад нерухомим залишався правий кінець відрізка (точка).

Розглянемо іншу ситуацію:

;;;.

Мал.2. 8. Геометрична інтерпретація методу хорд

(нерухома точка ) .

Проводячи хорди і одержуючи послідовність наближених рішень, помітимо, що в цьому випадку нерухомий лівий кінець відрізка

(точка ). З рівняння хорди ,

проведеної через точки і , отримаємо наближення

Th. Хай функція неперервна разом з першою і другою похідною на відрізку , що містить ізольований корінь рівняння , причому обидві похідні зберігають постійний знак. Тоді, використовуючи метод хорд можна отримати наближене рішення рівняння з будь-яким степенем точності. При цьому:

1. Нерухомим залишається той кінець відрізка, для якого знак функції співпадає із знаком другої похідної.

2. Послідовність наближень розташовується з тієї сторони від точного значення кореня, де знак функції протиставлений знаку другої похідної.

Похибку наближеного рішення, отриманого методом хорд, визначається за формулою:

де ; .

Приклад 2.2.

Відділити корінь рівняння графічно і знайти наближене значення кореня методом хорд з точністю .

Виділимо відрізок, що містить корінь. Побудуємо графіки функцій , , представивши початкове рівняння у вигляді .

Складемо таблицю значень, помітивши, що :

Таблиця 2.1

x	1	2	3	4
ln x	0	0.693	1.099	1.386
	4	2		1

Побудуємо графіки , .