1. Джерела похибки. Наближені числа. Абсолютна і відносна похибки наближеного числа.

2. Наближені методи рішення нелінійних рівнянь

2.1. Постановка задачі.

2.2. Метод ітерацій.

2.3. Метод Ньютона (дотичних).

2.4. Метод хорд.

2.5. Метод половинного ділення.

2.1 Джерела похибки. Наближені числа. Абсолютна і відносна похибки наближеного числа.

На практиці в більшості випадків знайти точне рішення математичної задачі неможливо, тому що воно не виражається в елементарних функціях. Тому для відшукання рішення використовуються чисельні методи.

Рішення, одержане чисельним методом, звичайно є наближеним, тобто містить деяку похибку. Джерелами похибки можуть бути:

1) невідповідність математичної моделі досліджуваному реальному процесу;

2) похибку вихідних даних;

3) похибку методу, що використовується ;

4) похибку округлення.

Оцінити похибку математичної моделі можна шляхом порівняння результатів експерименту і типових приватних рішень при фіксованих значеннях вхідних параметрів. Вплив похибки вихідних даних оцінюється шляхом варіювання вхідних перемінних у припустимих межах і фіксування результатів. Похибку методу виявляється при використанні наближених методів, в основі яких використовуються нескінченні процеси, що приводять у межі до точного рішення. Тому що число операцій обмежується, те отримане рішення є наближеним. При використанні комп'ютерів похибку округлення незначна, але при ручних розрахунках з великою кількістю операцій вона істотно може вплинути на похибку рішення.

Виз. Нехай невідоме точне значення деякої величини, відоме наближене значення. Величина називається абсолютною похибкою наближеного числа .

Виз. Величина має назву відносної похибки .

Можна записати: .

Виз. Будь-яке число , що задовольняє умові , називається граничною абсолютною (відносною) похибкою.

Правило 1. При складанні і відрахуванні наближених чисел, їх граничні відносні похибки складаються.

Правило 2. При множенні і розподілі складаються граничні відносні похибки наближених чисел.

2.2. Наближені методи рішення нелінійних рівнянь.

2.2.1 Постановка задачі.

Нехай дано рівняння . Необхідно знайти наближені значення коренів цього рівняння. Будемо припускати, що всі корені ізольовані, тобто кожний з коренів має окіл, що не містить інших коренів. Пошук наближених значень коренів здійснюється в 2 етапи:

1. Відділення відрізків, що містять ізольований корінь.

2. Відшукання наближеного значення кореня з заданою точністю на кожному виділеному відрізку.

Для відділення відрізків з ізольованим коренем, сформулюємо теорему з математичного аналізу:

Th. Якщо функція , неперервна на , має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, тобто, то на міститься принаймні один корінь рівняння (мал.2.1). Якщо, крім того, похідна на , зберігає постійний знак, то корінь єдиний (мал.2.2).

Мал. 2.1. Мал. 2.2.

2.2.2 Метод ітерацій.

Розглянемо рівняння (2.1).

Нехай – відрізок, що утримує єдиний корінь цього рівняння. Замінимо рівняння (2.1) рівносильним: (зручним для ітерацій) і нехай неперервна. Виберемо нульове наближення: і збудуємо послідовність наближень:

(2.2).

Якщо це послідовність, що сходиться, то її границя є коренем рівняння (2.1). Дійсно, якщо , то переходячи до границі в рівності (2.2) одержимо:

Оскільки функція неперервна, то:

отже - це корінь рівняння.

Th. Нехай функція неперервне диференціюємо на і всі її значення належать , тоді якщо на задовольняє умові Ліпшица с const  , тобто для будь-яких справедливо: , де , то:

1. Ітераційний процес збігається незалежно від нульового наближення.

2. Граничне значення послідовності ітерацій дорівнює єдиному значенню кореня на .

Похибку наближеного рішення, отриманого за методом ітерацій, визначається за формулою:

Покажемо на рисунках побудову послідовності наближених рішень за методом ітерацій.

Мал. 2.3. Наближення до кореня по "спіралі".

Мал. 2.4. Наближення до кореня по "сходам".

Як видно з рисунків наближення можуть сходитися до кореня з однієї сторони (Мал.2.4) чи з двох сторін (Мал.2.3).