Мал.7.1. Геометричний метод рішення задачі лінійного програмування

Відповідь: виробів моделі А – 300 од.

виробів моделі В – 200 од.

максимальний прибуток

7.3 Симплексний метод рішення.

Нехай потрібно мінімізувати цільову функцію при обмеженнях (7.4). Приведемо (7.4) до стандартного виду (7.2). Для цього до лівої частини кожного обмеження, що має вид нерівності ≤, добавляємо позитивну змінну: . Якщо обмеження у виді нерівності ≥, те з лівої частини віднімаємо . Система прийме вид:

Усього перемінних . Усі повинні бути позитивні, якщо , те дане рівняння потрібно помножити на (-1). Оскільки цільова функція не має стаціонарних точок, те своїх максимального і мінімального значень вона досягає на границі області.

Th. Нехай область припустимих рішень - обмежений замкнутий багатогранник, тоді мінімальне (максимальне) значення функції мети досягається в кутовій точці.

Оскільки число невідомих більше числа рівнянь , те частина невідомих покладається базисними. Вільні перемінні переносяться в праву частину. Система зважується щодо базисних перемінних. Така система має рішення, якщо визначник, що складається з коефіцієнтів при базисних невідомих у системі обмежень відмінний від чи нуля якщо вектори , відповідні базисним перемінної, є незалежними.

Виз. Рішення називається базисним, якщо вільні перемінні рівні нулю.

Кожне базисне рішення відповідає кутовій точці. Кількість базисних рішень:

Таким чином, щоб знайти оптимальне рішення, потрібно обчислити значення функції мети у всіх кутових точках і вибрати точку, у якій значення функції мети мінімально (максимально); якщо велике, то кількість кутових точок є велике число.

Виз. Симплексний метод - упорядкований перехід від одного базисного рішення до іншого, при якому відбувається зменшення значення функції мети. (Використовується для відшукання мінімального значення функції мети)

Розглянемо побудову нульового базисного рішення. Припустимо, що система обмежень (7.3) містить одиничних векторів (така ситуація виникає, якщо всі обмеження визначаються нерівностями ≤; інакше перші перемінних вибираються в якості базисних і щодо них зважується система лінійних рівнянь ). Тоді система обмежень має вид:

Базисні перемінні: ; інші - вільні. Нехай вільні змінні рівні нулю, тоді отримуємо нульове базисне рішення:

.

Далі виникає необхідність перевірити, чи не є знайдене базисне рішення оптимальним. Помітимо, що вектори системи обмежень мають вид:

; ;…; ; ;…;.

Вектори ,…, – одиничні й утворять базис у – мірному просторі, тобто кожної з векторів можна розкласти по даному базисі:

Оскільки базис одиничний, те . Кожному розкладанню відповідає єдине значення :

Th: (критерій оптимальності) Якщо для деякого базисного рішення розкладання усіх векторів задовольняють умові , то план оптимальний, інакше потрібно вибрати новий базис і шукати нове базисне рішення.

Алгоритм симплексного методу.

1. Вибираємо базисні перемінні: ,…,. Нульове базисне рішення має вид: ; базисні вектори: ,…,.

2. Знайдемо розкладання векторів обраному по базисі й обчислимо значення оцінок .

3. Якщо всі оцінки не позитивні, то знайдене рішення оптимально. Якщо позитивна оцінка одна, то відповідний вектор вводиться в базис. Якщо позитивних оцінок декілька, то серед векторів , відповідних ним, вибирається вектор, для якого максимальним є добуток

, де , .

Нехай , тоді вектор вводиться в базис. Виводиться буде вектор , для який справедливо:

Елемент називається розв'язний, а рядок та стовпець - напрямними.

Новий базис: .

Відповідні базисні перемінні:

.

4. Знайдемо координати розкладання векторів по новому базисі і нове базисне рішення.

Нове базисне рішення визначається по формулах:

Розкладання векторів обчислюється в такий спосіб:

Щоб знайти розкладання векторів по новому базисі треба розділити направляючий рядок на розв'язний елемент і зробити повне виключення по методу Жордана-Гауса в направляючому стовпці.

cn	An	x1, n x2, n x r, n x m, n	zn – cn
…	…
ck	Ak	x1, k x2, k x r, k xm, k	zk – ck
…	…
cm+1	Am+1	x1,m+1 x2,m+1 xr,m+1 xm,m+1	zm+1– cm+1
cm	Am	0 0 0 1	0
…	…
cr	Ar	0 0 1 0	0
…	…
c2	A2	0 1 0 0	0
c1	A1	1 0 0 0	0
	XБ	x1 x2 xr xm	z0
	CБ	c1 c2 c r cm
	AБ	A1 A2 A r Am
i		1 2 r m	m+1

5. Обчислюємо значення оцінок . Якщо усі вони непозитивні, то план оптимальний, у противному випадку знову відшукуємо вектор який буде введений у базис, і вектор який буде виведений з базису. Процес повторюється доти , поки не буде знайдений оптимальний план, чи показана необмеженість рішення (якщо в якому-небудь стовпчику всі негативні).

Зауваження: Якщо зважується задача максимізації цільової функції, то функція мети записується у виді:

.

Для неї зважується задача мінімізації. Хай – оптимально (точка мінімуму цільової функції), тоді для вихідної задачі - точка максимуму цільової функції.

Приклад 7.2.

Розглянемо задачу, використовувану в прикладі попереднього розділу:

Потрібно максимізувати цільову функцію.

при обмеженнях:

Тому що симплексний метод вирішує задачу мінімізації, то функцію мети розглянемо у виді:

Приведемо систему обмежень до стандартного виду, додавши до лівої частини кожного обмеження позитивну перемінну одержимо:

, , , .

Базисні перемінні: _, ;

Вільні перемінні: _, ;

Базисні вектори: , ;

Нульове базисне рішення: ;

Функція мети:

Складемо вихідну симплекс - таблицю:

Таблиця 7.1

I				-2	-4	0	0
1		0	1700	3	4	1	0
2		0	1600	2	5	0	1
				2	4	0	0

Значення функції мети для нульового базисного рішення:

;

Вичислимо значення відміток:

Дві оцінки позитивні. Знайдемо відповідні значення :

Знайдемо

Максимальне значення відповідає вектору . Для другого стовпця відповідає другому рядку.

Другий рядок і другий стовпець є напрямними.

Значить елемент – розв'язний . Отже вектор вводиться в базис, а – виводиться з базису.

Обчислюємо новий опорний план і розкладання векторів по новому базисі , . Для цього другий рядок поділяється на ( розв'язний елемент). Результат записується в другий рядок таблиці7.2. Потім виробляється виключення в другому стовпці. Для цього отриманий другий рядок збільшується на (-4) і поелементно складається з першим рядком.

Друга симплекс-таблиця має вигляд:

Таблиця 7.2

I				-2	-4	0	0
1		0	420	1,4	0	1	-0,8
2		-4	320	0,4	1	0	0,2
				0,4	0	0	-0,8

Базисні перемінні , ;

Вільні перемінні: _, ;

Базисні вектори , ;

Перше базисне рішення:

Значення функції мети: (зменшилося).

Обчислимо значення оцінок:

Позитивна оцінка одна, отже вводиться в базис.

Знаходимо ;

Отже буде виведений з базису.

Розв'язний елемент -

Поділяємо перший рядок на розв'язний елемент і робимо виключення в першому стовпці. Одержуємо нову симплексну таблицю:

Таблиця 7.3

I				-2	-4	0	0
1		-2	300	1	0	5/7	-4/7
2		-4	200	0	1	-2/7	3/7
				0	0	-2/7	-4/7

Базисні перемінні: , _.

Базисні вектори: , .

Обчислимо значення оцінок:

Отримані оцінки непозитивні. Отже знайдене базисне рішення: – оптимально (точка мінімуму цільової функції). Значення функції мети: , тоді для вихідної задачі оптимальне рішення: - точка максимуму цільової функції.

Значення цільової функції: ($) – є максимальним.

Відповідь: виробів моделі А – 300 од.

виробів моделі В – 200 од.

максимальний прибуток