6.4 Інтерполяційний многочлен Лагранжа з рівновіддаленими вузлами.

Хай відомі значення функції в рівновіддалених точках з кроком : ; .

Введемо поняття фази інтерполяції : ; .

Фаза – безрозмірна величина, не залежна від .

Виразимо : . Запишемо через фазу многочлен

,

де .

Помітимо, що ;

.

Підставляємо відповідні вирази в .

.

Погрішність інтерполяції в точці рівна

Максимальна погрішність інтерполяції:

.

Погрішність в точці :

де .

6.5 Кінцеві різниці.

Введемо поняття кінцевої різниці. Хай відомі значення функції в точках , причому .

Виз. Величина називається кінцевою різницею першого порядку функції в точці з кроком .(Наприклад: ) .

Виз. Величина

називається кінцевою різницею другого порядку функції в точці з кроком . (Наприклад: ) .

Виз. Кінцева різниця порядку n функції в точці визначається за рекурентною формулою:

.

Кінцеві різниці зручно записувати у вигляді таблиці:

6. Формула Ньютона для інтерполяції «вперед».

Хай відомі значення функції в точках ,

причому .

Розглядати інтерполяційний многочлен у вигляді:

Коефіцієнти визначимо з умови (6.1) для інтерполяційних многочленів .

1. Хай , тоді .

2. Хай тоді

3. Хай , тоді

.

І так далі, останній коефіцієнт: .

Підставляючи коефіцієнти в, отримаємо многочлен:

.

Отриманий многочлен називається першою інтерполяційною формулою Ньютона або інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції “вперед”.

Отримаємо формулу для інтерполяції “вперед” через фазу. Задамо фазу таким чином :

Многочлен Ньютона від змінної q має вигляд:

6.7 Формула Ньютона для інтерполяції «назад».

У виведеній формулі за початок відліку вибиралася точка Виберемо за початок відліку точку і шукатимемо інтерполяційний многочлен у вигляді:

1. Хай , тоді

2. Хай , тоді

3. Хай , тоді

І так далі, останній коефіцієнт: .

Підставляючи знайдені коефіцієнти, отримаємо :

Отримана формула називається другою інтерполяційною формулою Ньютона або інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції “назад”.

Отримаємо формулу для інтерполяції ”назад” через фазу. Задамо фазу таким чином :

Формула Ньютона для інтерполяції ”назад” через фазу має вигляд:

Зауваження: Недоліком многочлена Лагранжа є те, що при додаванні хоча б однієї точки інтерполяції, необхідно перерахувати все . Для многочлена Ньютона додавання точки приводить до додавання одного доданку без перерахунку попередніх.

Приклад6.1.

Побудувати інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона від змінних і , якщо відомі значення функції в наступних вузлах:

I	0	1	3
	-1	0	1
	4	3	-4
	0	1	2
	-2	-1	0

1. Многочлен Лагранжа:

Перевірка :

Отже, многочлен побудований вірно.

2. Многочлен Лагранжа через фазу q :

Перевірка:

3. Побудуємо таблицю кінцевих різниць :

, h = 1.

4. Многочлен Ньютона для інтерполяції “вперед”:

5. Многочлен Ньютона для інтерполяції “вперед через” фазу :

5. Многочлен Ньютона для інтерполяції ”назад”:

5. Многочлен Ньютона для інтерполяції “назад через” фазу :

Перевірка :

Отже, многочлен побудований вірно.