Питання для самоперевірки

1. Яким образом система рівнянь приводиться до трикутного виду?

2. Як реалізується зворотний хід методу Гауса?

3. Як необхідно вчинити, якщо діагональний елемент дорівнює нулеві?

4. Як визначаються й обчислюються норма вектора і норма матриці?

5. Яким чином приводиться система до виду, зручному для ітерацій?

6. Як реалізується метод ітерацій?

7. Яким чином оцінюється похибка рішення, отриманого методом ітерацій?

8. Чим відрізняється метод Зейделя від методу ітерацій ?

Використовувана література

1) [1] ст. 19-27; ст. 139-151; ст. 151-166;

2) [2] ст. 4-6; ст. 13-40

3) [3] ст. 16-36

6. Лекція 6. Інтерполяційні многочлени План лекції

1. Постановка задачі.

2. Теорема існування і єдності. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

3. Похибка інтерполяції.

4. Інтерполяційний многочлен Лагранжа з рівновіддаленими вузлами.

1. Кінцеві різниці.

2. Формула Ньютона для інтерполяції «вперед».

3. Формула Ньютона для інтерполяції «назад».

6.1 Постановка задачі.

Хай відомі значення деякої функції в різних точках . Позначимо . Наприклад, вони отримані в результаті експерименту. Виникає задача наближеного відновлення функції в довільній точці х. Для вирішення цієї задачі будується многочлен алгебри ступеня, який в точках приймає значення , і називається інтерполяційним. Вимога:

(6.1)

Точки - вузли інтерполяції.

Інтерполяційні многочлени також використовуються для висновку формул чисельної інтеграції і диференціювання.

6.2 Теорема існування і єдності. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Th. Існує єдиний інтерполяційний многочлен ступеня n, що задовольняє умові (6.1).

Доведення: покажемо існування, виписавши його:

;

Виписаний многочлен є сумою доданків, що є дробами, в чисельниках яких стоять добутки n лінійних співмножників, а в знаменниках – числа. Таким чином, кожний з доданків є многочленом ступеня n отже їх сума – многочлен ступеня n. Покажемо, що многочлен задовольняє умові (6.1). Зауважимо, що

.

Тоді:

Значить виписаний многочлен – інтерполяційний. Покажемо одиничність. Припустимо протилежне, тобто існує ще один інтерполяційний многочлен ступеня , що задовольняє умові (6.1). Різниця інтерполяційних многочленів є многочленом порядку не вище . Тоді, по основній теоремі алгебри рівняння має не більш коренів. З другого боку різниця многочленів рівна нулю у всіх вузлах інтерполяції, тобто у точці, що є суперечністю, отже, інтерполяційний многочлен порядку – єдиний. Що і вимагалося довести.

Виз. Інтерполяційний многочлен вигляду

(6.2)

називається інтерполяційним многочленом Лагранжа.

6.3 Погрішність інтерполяції.

Хай функція раз безперервно диференціюємо на, де знаходяться всі вузли інтерполяції. Погрішність інтерполяції визначається за формулою:

, де

Оскільки похідна порядку безперервна на, то вона обмежена, отже, існує таке число , що справедливо

.

Погрішність інтерполяції в точці оцінюється за формулою:

; .

(6.3)

Максимальна погрішність інтерполяції визначається таким чином:

(6.4)