5.2 Наближені методи рішення системи лінійних рівнянь.

5.2.1 Норма вектора. Норма матриці.

Виз. Нормою вектора називається відображення в просторі , яке кожному вектору ставить у відповідність число, що позначається і задовольняє наступним властивостям.

Властивості норми:

1. Норма вектора

2. 

3. 

У лінійному просторі - мірних векторів задамо норму двома способами:

1. 2.

У лінійному просторі квадратних - мірних матриць виду:

норму визначимо в такий спосіб:

, де - верхня грань.

Таким чином одержуємо , що норма матриці погоджена з нормою вектора. Будемо обчислювати норму матриці за формулами:

1. 2.

З визначення норми матриці випливає:

5.2.2 Приведення системи до виду зручному для ітерацій.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Матрична форма запису (5.6)

Приведемо систему до виду, зручному для ітерацій:

тобто (5.7).

Розглянемо два способи приведення системи до виду, зручному для ітерацій:

1) У - тому рівнянні системи (5.6) усі доданки перенесемо з лівої в праву частину, крім доданка, що містить у собі і потім розділимо рівняння на . Коефіцієнти визначаються за формулами:

2) Усі доданки - га рівняння переносимо з лівої в праву частину і до обох частин рівняння додамо при цьому коефіцієнти , визначаються за формулами:

.

5.2.3 Метод ітерацій.

Нехай система рівнянь приведена до виду, зручному для ітерацій .

Виберемо довільним образом нульове наближення:

.

Звичайно як нульове наближення вибирається стовпець вільних членів: Далі будується ітераційна послідовність за формулою:

(5.8)

Помітимо, що - та компонента наближення обчислюється у наступний спосіб:

.

Th: Якщо , то система рівнянь (5.7) має єдине рішення і послідовність ітерацій (5.8) сходиться до цього рішення зі швидкістю убиваючої геометричної прогресії .

Похибку наближення визначається за формулою:

, де– точне рішення.

5.2.4 Метод Зейделя.

Нехай дана система рівнянь . За допомогою першого способу приводимо цю систему до виду, зручному для ітерацій: . Вибираємо нульове наближення і будуємо ітераційний процес. Будемо вважати, що значення компонентів наближення відомі, тоді компоненти наближення визначаються за формулою:

Таким чином, при обчисленні - її компоненти наближення вже використовуються компоненти наближення з номерами, що менші за . Похибку наближення визначається таким же чином, як і в методі ітерацій.

Теореми збіжності:

Th1: Якщо норма , то послідовність ітерацій, сформована за методом Зейделя сходиться до точного рішення, незалежно від нульового наближення.

Th2: Система (5.6) має єдине рішення, і послідовність ітерацій, сформована за методом Зейделя сходиться до точного рішення, якщо виконано наступну умову:

Приклад5.1.

Знайти наближене рішення, використовуючи методи ітерацій і м. Зейделя з точністю .

Нехай дана система рівнянь.

1) Перевіримо виконання умови для першого рядка

.

Умова не виконана..

Перетворимо вихідну систему таким чином, щоб умова виконалася. Друге рівняння поставимо на місце третього, перше на місце другого. Як перше рівняння візьмемо суму першого і подвоєного третього.

Одержимо систему:

2) Використовуючи перший спосіб приведемо систему до виду, зручному для ітерацій.

Матриця коефіцієнтів має вид:

Обчислимо норму :

.

Отже ітераційний процес буде сходитись до точного рішення .

Вибираємо нульове наближення:

3. За методом ітерацій побудуємо перше наближення:

Знайдемо похибку першого наближення:

Процес побудови ітерацій буде закінчено, якщо норма похибки буде менше заданої точності:

Необхідно будувати наступну ітерацію:

Обчислимо друге наближення

Визначимо похибку :

Необхідно будувати третю ітерацію і так дали, поки похибка не стане менше заданої точності.

4) Побудуємо послідовність ітерацій по методу Зейделя. Вибираємо нульове наближення:

Побудуємо перше наближення:

Знайдемо похибку першого наближення:

Процес побудови ітерацій буде закінчений, якщо норма похибки буде менше заданої точності:

.

Отже, необхідно будувати другу ітерацію і так дали, поки похибка не стане менше заданої точності.