3.4 Побудова експонентної моделі.
Потрібно
за результатами експериментів побудувати
експонентну
модель
.
Логарифмуємо
рівняння моделі.
або
.
Позначимо
:
,
,
.
Одержимо рівняння моделі у вигляді
.Таким чином, побудова
експонентної
моделі
зводиться до побудови
лінійної
моделі.
Розглянемо функцію :
Щоб знайти мінімальне значення цієї функції, обчислимо частки похідні й дорівняємо їхньому нулю. Одержимо систему рівнянь.
Для зручності обчислень, занесемо вихідні дані й розрахунки в таблицю.
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
… |
... |
... |
... |
... |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вирішуючи
систему щодо коефіцієнтів
,
,
одержуємо
рівняння
моделі
.
Вертаючись
до вихідних коефіцієнтів
,
,
одержимо
,
.
Шукане
рівняння моделі :
.
Приклад 3.3.
Побудуємо
експонентну
модель
по
заданим у
Прикладу 3.1. даним експерименту
1) Знайдемо коефіцієнти експонентної залежності методом найменших
квадратів.
Треба по зазначеної формулі
підібрати
коефіцієнти
моделі
й
.
Побудуємо
таблицю, попереднє обчислив
.
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
-1.8 |
3.24 |
1.6 |
0.470004 |
-0.84007 |
|
2 |
0.4 |
0.16 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0.6 |
0.36 |
0.8 |
-0.22314 |
-0.133886 |
|
4 |
2 |
4 |
0.6 |
-0.51083 |
-1.021651 |
|
5 |
2.9 |
8.41 |
0.5 |
-0.69315 |
-2.010127 |
|
|
4.1 |
16.17 |
- |
-0.95711 |
-4.011671 |
Вирішуючи
систему , знайдемо
коефіцієнти
и
,
Виразимо
коефіцієнт
з другого рівняння
системи
=
Підставимо
у
перше рівняння.
Розкриємо
дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо
16.17
+ 4.1 (-0191422 - 0.82)
= - 4.01167 ,
Знайдемо коефіцієнти:
,
=
Вертаючись до вихідних коефіцієнтів , одержимо
а =
=
,
=1.163788
Зазначена залежність
2) Знайти
відхилення
експериментальних результатів
від результатів, отриманих по моделі
-
вихідні дані
результат
-1.8
1.6
1.83156
0.053622
0.4
1
1.05222
0.002727
0.6
0.8
1.00052
0.040207
2
0.6
0.70314
0.010638
2.9
0.5
0.56049
0.003659
0.11853
визначаються
по моделі шляхом підстановки табличних
значень
із першого стовпця замість х у рівняння
моделі
=1.163788.
е- 0.251939 .(-1.8)
=1.83156
………………………………………………….
=1.163788.
е- 0.251939 . 2.9
=0.56049
Відхилення:
...........................................................................
-
Побудуємо графік, застосовує
|
х |
|
x*x |
|
x*y |
|
|
|
-1,8 |
1,6 |
3,24 |
0,470003629 |
-0,846007 |
1,597762 |
5,00696E-06 |
|
0,4 |
1 |
0,16 |
0 |
0 |
0,917983 |
0,006726707 |
|
0,6 |
0,8 |
0,36 |
-0,223143551 |
-0,133886 |
0,872881 |
0,005311663 |
|
2 |
0,6 |
4 |
-0,510825624 |
-1,021651 |
0,613475 |
0,000181574 |
|
2,9 |
0,5 |
8,41 |
-0,693147181 |
-2,010127 |
0,489033 |
0,000120281 |
|
4,1 |
4,5 |
16,17 |
-0,957112726 |
-4,011671 |
|
0,012345232 |
