- •Введение
- •1 Теоретические основы
- •Основные обозначения
- •1.2 Способы проецирования
- •1.2.1 Центральное проецирование
- •1.2.2 Параллельное проецирование
- •1.2.3 Ортогональное проецирование
- •1.2.4 Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа
- •1.2.4.1 Конкурирующие точки
- •1.3 Ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные
- •1.3.1 Изображение прямой линии на комплексном чертеже
- •Р исунок 1.3.1 – Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •1.3.1.1 Прямые частного положения
- •1.3.1.2 Следы прямой линии
- •1.3.1.3 Определение натуральной величины отрезка прямой
- •1.3.1.4 Взаимное положение двух прямых
- •1.3.1.5 Теорема о проецировании прямого угла
- •1.3.2 Изображение плоскости на комплексном чертеже
- •1.3.2.1 Главные линии плоскости
- •1.3.2.2 Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
- •1.3.2.3 Следы плоскости
- •1.3.2.4 Плоскости частного положения
- •1.3.2.5 Параллельность прямой и плоскости
- •1.3.2.6 Параллельность плоскостей
- •1.3.2.7 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •1.3.2.8 Пересечение прямой линии с плоскостью
- •1.3.2.9 Пересечение двух плоскостей
- •1.3.3 Кривые линии
- •1.3.3.1 Проекционные свойства плоских кривых
- •1.3.3.2 Ортогональная проекция окружности
- •1.3.4 Образование, задание и изображение поверхностей
- •1.3.4.1 Линейчатые поверхности
- •1 .3.4.2 Коническая и цилиндрическая поверхности
- •1.3.4.3 Поверхности вращения
- •1.3.4.4 Поверхности вращения второго порядка
- •1.3.4.5 Пересечение поверхности с плоскостью
- •1.3.4.6 Конические сечения
- •1.3.4.7 Пересечение поверхностей
- •1.3.4.7.1 Общий алгоритм решения задачи
- •1.3.4.7.2 Примеры пересечения поверхностей
- •1.3.4.7.3 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
- •1.4 Преобразование комплексного чертежа
- •1.4.1 Способ замены плоскостей проекций
- •1.4.2 Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
- •1.4.3 Способ плоскопараллельного перемещения
- •1.4.4 Способ вращения
- •1.4.4.1 Способ вращения вокруг проецирующей оси
- •1.4.4.2 Основные задачи, решаемые способом вращения
- •1.5 Построение разверток
- •1.5.1 Развертка поверхностей многогранников
- •1.5.1.1 Развертка поверхности призмы
- •1.5.1.2 Развертка поверхности пирамиды
- •1.5.2 Развертка развертываемых кривых поверхностей
- •1.5.2.1 Развертка цилиндрической поверхности
- •1.5.2.2 Развертка конической поверхности
- •2. Геометрические модели в параллельных аксонометрических проекциях
- •2.1 Аксонометрические проекции
- •2.2 Стандартные аксонометрические системы
- •2.3 Аксонометрическая проекция окружности
- •3 Перспективные проекции
- •3.1 Линейная перспектива
- •3.2 Элементы аппарата проецирования
- •3.3 Перспектива точки
- •3.4 Перспектива прямой линии
- •3.5 Построение перспективы способом архитекторов
- •3.5.1 Выбор положения картинной плоскости и точки зрения
- •3.5.2 Построение перспективы с двумя точками схода
- •3.5.3 Построение перспективы с одной точкой схода
- •4 Построение теней
- •4.1 Построение теней в ортогональных проекциях
- •4.1.1 Тень от точки
- •4.1.2 Тень от прямой
- •4.1.3 Тень плоской фигуры
- •4.1.4 Тени геометрических тел
- •4.1.5 Способ обратных лучей
- •4.2 Тени в аксонометрических проекциях
- •4.2.1 Тень от точки и прямой
- •4.2.2 Тени геометрических тел
- •4.3 Тени в перспективе
- •4.3.1 Тени от точки
- •4.3.2 Тень от прямой
- •4.3.3 Тень от поверхности
1.2.3 Ортогональное проецирование
Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости проекций П′ (sП’).
В ортогональной проекции очень просто устанавливать соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции.
Пусть отрезок АВ образует с плоскостью проекций П' угол f (рисунок 1.2.5). Проведём A′ В1 параллельно АВ. Тогда
А'В'=А'В1 cos =АВ cos
Большое распространение ортогональные проекции получили в технических чертежах, т.к. позволяют особенно легко судить о размерах изображаемых предметов.
Рисунок 1.2.5 – Ортогональное проецирование
1.2.4 Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа
Наиболее употребительным в практике является метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях. Комплексным чертежом называется чертёж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемой фигуры. Метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях называется также методом Монжа.
Этот метод прост в построении и даёт большую точность при графическом решении задач. Он обеспечивает точное определение изображённой фигуры по чертежу. Недостатком метода является малая наглядность изображений.
Комплексный чертёж из двух проекций называется также двухкартинным чертежом.
Рассмотрим неподвижную систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей П1 и П2 в соответствии с рисунком 1.2.6. Плоскость П1, расположенная горизонтально, называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2, перпендикулярная к П1, занимает вертикальное положение и расположена перед наблюдателем. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. На обе эти плоскости будем проецировать ортогонально точки пространства.
Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортогональную проекцию А1 точки А на плоскость П1 будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную проекцию А2 точки А на плоскость П2 -фронтальной проекцией точки А. Прямые АА1 и АА2, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций (AА1П1, AА2П2), называются проецирующими прямыми (AА1 – горизонтально проецирующая прямая, АА2 – фронтально проецирующая прямая). Прямая пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Её обозначают буквой x.
Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей плоскостью (плоскость, перпендикулярная к плоскости П1, называется горизонтально проецирующей плоскостью, а плоскость, перпендикулярная к плоскости П2, – фронтально проецирующей плоскостью).
Плоскость АА1А2 проходит через прямую АА1, перпендикулярную к плоскости П1, в силу чего она перпендикулярна к плоскости П1. Аналогично плоскость АА1А2 перпендикулярна плоскости П2. Следовательно, дважды проецирующая плоскость АА1А2 перпендикулярна к оси проекций X.
Т очку пересечения плоскости АА1А2 с осью проекций х как точку, принадлежащую одновременно обеим плоскостям П1 и П2, обозначим А12. Прямые A12А1 и А12А2, лежащие в плоскости АА1А2, перпендикулярной к оси проекций х, перпендикулярны к этой оси. Обратно, пусть А12 - произвольная точка оси проекций х. Восставим из точки А12 к оси два перпендикуляра: один в плоскости П1, другой в плоскости П2.
Рисунок 1.2.6 – Ортогональное проецирование точки
Тогда каждая пара точек А1 и А2, лежащих на этих перпендикулярах, определит в пространстве единственную точку А. Действительно, две пересекающиеся прямые А12А1 и А12А2 определяют плоскость А1А12А2, перпендикулярную к оси проекций х (так как А12А1х и А12А2х). Но плоскость, перпендикулярная к линии х пересечения двух плоскостей П1 и П2, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей, т.е. плоскость А1А12А2 является проецирующей по отношению к обеим плоскостям проекций. Следовательно, перпендикуляры, восставленные в точках А1 и А2 соответственно к плоскостям П1 и П2, лежат в одной плоскости (в плоскости А1А12А2). Точка А их пересечения и является искомой точкой пространства, определяемой данной парой точек Итак, каждой точке А соответствует пара её проекций А1 и А2, лежащих вместе с данной точкой А в одной плоскости, перпендикулярной к обеим плоскостям проекций П1 и П2, а следовательно, и к линии х их пересечения; обратно, любые две точки А1П1 и А2П2, лежащие в одной плоскости, перпендикулярной к оси х, определяют в пространстве единственную точку А.
Расстояние А1А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой точки А, а её расстояние А2А от фронтальной плоскости проекций – глубиной точки А.
Для получения плоского чертежа совмещаем плоскость проекций П1 с плоскостью П2 путем вращения плоскости П1 вокруг оси X в направлении, указанном на рисунке 1.2.6 стрелками, так, чтобы передняя полуплоскость П1 совместилась с нижней полуплоскостью П2. В результате получим комплексный чертёж точки А (рисунок 1.2.7), состоящий из двух проекций А1 и А2 точки А. Обе проекции А1 и А2 лежат на одном перпендикуляре к оси проекций х, которую как прямую, принадлежащую одновременно обеим плоскостям проекций П1 и П2, будем обозначать на комплексном чертеже х12. Два перпендикуляра А12А1 и А12А2 к оси х12 имеют общую точку А12. Прямая А1А2, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже, называется линией связи. Линия связи двух проекций точки перпендикулярна к оси проекций.
П РИМЕЧАНИЕ: контуры плоскостей проекций на комплексном чертеже не показывают.
Рисунок 1.2.7 – Комплексный чертёж точки
Плоскости проекций разбивают всё пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями. Принято нумеровать квадранты в порядке, указанном на рисунке 1.1.8, и называть их I, П, Ш, IV квадрантами.
Рисунок 1.2.8 – Квадранты пространства
Если точка лежит в I квадранте, то её горизонтальная проекция А1, будет принадлежать передней полуплоскости П1, а фронтальная проекция А2 – верхней полуплоскости П2. При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проекция А1 точки А, лежащей в I квадранте, окажется расположенной ниже оси x12 в соответствии с рисунком 1.2.9.
В зависимости от положения натуральных (проецируемых) точек в различных квадрантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже в соответствии с рисунком 1.2.9, так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит натуральная точка.
Рисунок 1.2.9 – Комплексный чертёж точек, расположенных в разных квадрантах
Двухкартинный чертёж является метрически определённым чертежом. Однако, в силу трёхмерности пространственной фигуры её комплексный чертёж становится более ясным, когда, помимо двух основных проекций, дана ещё одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости проекций чаще всего применяют профильную плоскость проекций П3 (рис. 1.2.10).
П3х, поэтому П3П1 и П3П2. Три плоскости проекций (П1, П2, П3) образуют в пространстве прямоугольный трёхгранник, т.е. систему трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Ребра трёхгранника обозначим через х, y, z.
П усть А – некоторая точка пространства. Для определения положения точки А относительно системы плоскостей (П1, П2, П3) опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций: AAiПi (i=l, 2, 3). Основания этих пер-пендикуляров (точки А1, А2, А3) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций (П1, П2, П3). Проецирующие плоскости AA1A2, AA1A3 и АА2А3 перпендикулярны соответственно к осям х, у, z. Обозначим точки пересечения этих плоскостей с осями через А12, А13, А23. Как прямые A1A12 и A12A2 перпендикулярны к оси x, так и две другие пары прямых A1A13, A13A3 и А2А23, А23А3 должны быть перпендикулярны соответственно к осям y и z. Расстояние точки А от профильной плоскости проекций П3 называется широтой точки А.
Рисунок 1.2.10 – Трёхкартинный чертёж точки
Итак, A1A=A12A2=A13A3– высота, А2А=А]2А1=А23A3 – глубина, АзА=А23A2=A13A1 – широта точки А.
При построении плоского чертежа плоскость П2 считается неподвижной, а плоскости П1 и П3 совмещаются с ней путём вращения соответственно вокруг осей х и z в направлении, в соответствии с рисунком 1.2.10. После совмещения плоскости П1 с фронтальной плоскостью П2 отрезки А1А12 x12 и А12А2x12 окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после совмещения плоскости П3 с плоскостью П2 отрезки А2А23z23 и А23А3z23 расположатся на линии связи А2А3z23.
Рисунок 1.2.11 – Трёхпроекционный комплексный чертёж точки
В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комплексный чертёж точки А в трёх ортогональных проекциях. При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям А1А2x12, А2А3z23, а отрезки А12А1 и А23А3 равны, так как А12А1=А23А3=А2А (рисунок 1.1.11) есть глубина точки А.
Рассмотрим квадрат А13O123А31А0. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла (Х12Z23). Следовательно, линия связи, соединяющая проекции А1 и А2, представляет собой ломаную линию с вершиной на биссектрисе К123 угла (X12Z23), состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.
Таким образом, линии связи устанавливают на трёхкартинном чертеже следующим образом: А1А2 – вертикальная линия связи; А2А3 – горизонтальная линия связи; А1А3 – горизонтально-вертикальная линия связи; биссектриса К123 – геометрическое место вершин ломаных линий связи в соответствии с рисунком 1.2.12.
Рисунок 1.2.12 – Линии связи на проекционном чертеже
Прямая К123 определяется заданием трёх проекций какой-либо точки, например, точки А (А1А2А3), и является постоянной прямой комплексного чертежа.
Рассмотрим трёхгранник, образованный системой плоскостей проекций (П1,П2,П3). На осях x, y, z установим единицу измерения е. За начало отсчёта примем точку О пересечения трёх плоскостей проекций (вершину трёхгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рисунке 1.2.13. Тогда трёхгранник Оxyz можно рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с координатными осями: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – ось аппликат с координатными плоскостями хОyП1, хОzП2, yОzП3..
Рисунок 1.2.13 – Прямоугольная система координат в пространстве
Точку А(xA, yA, zA) по данным координатам хА,,yA,zA строят следующим образом: пользуясь единицей длины е, строим отрезок АА12, затем отрезок А12А1, параллельный оси у, и отрезок А1А, параллельный оси z. В результате получаем точку А(хА, уА, zА).
На чертежах, применяющихся в технике, оси проекций обычно не показывают. Это означает, что плоскости проекций могут перемещаться параллельно самим себе. Однако, и при отсутствии на чертеже осей всегда можно определить по данным двум проекциям точки третью её проекцию, если на чертеже имеются три проекции хотя бы одной точки. Это достигается при помощи постоянной прямой k чертежа, являющейся биссектрисой угла, образованного ломаной линией связи в соответствии с рисунком 1.2.14. Например, известно расположение трёх проекций точки А. Это позволяет определить постоянную k123 как биссектрису угла А1А0А3. В результате линии связи становятся вполне определёнными и по каждым двум проекциям точки может быть построена третья её проекция. На рисунке 1.2.14 такое построение выполнено для точки В.
Рисунок 1.2.14 – Безосный комплексный чертёж точки