§3. Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая задаётся каноническим уравнением:

. (1)

Так же, как и конус второго порядка, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая её плоскостью , получаем кривую с уравнением

,

которое после преобразований принимает вид

и задаёт эллипс с полуосями

. (2)

Таким образом, как и конус второго порядка, однополостный гиперболоид состоит из расширяющихся эллипсов. Самый малый эллипс получаем при . Он называется горловым эллипсом.

Сравнивая (2) и (4) §2, видим, что : и . Таким образом, если однополостный гиперболоид (1) и конус второго порядка

(3)

пересечь одной и той же плоскостью , то эллипс для конуса находится внутри эллипса для гиперболоида, значит конус (3) лежит внутри гиперболоида (1). Кроме того,

.

Аналогично получаем, что , т.е. при неограниченном удалении от плоскости однополостный гиперболоид (1) бесконечно близко приближается к конусу (3), который поэтому называется его асимптотическим конусом.

Пересекая однополостный гиперболоид (1) плоскостью в сечении получаем гиперболу с действительной осью – осью . При пересечении же его плоскостью , получаем гиперболу с действительной осью – осью . Однополостный гиперболоид изображен на рис. 4.7. При он называется однополостным гиперболоидом вращения.

§4. Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Так же, как и конус второго порядка и однополостный гиперболоид, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но опять же, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая двуполостный гиперболоид плоскостью получаем кривую с уравнением

. (2)

Из (2) видно, что при плоскость не пересекается с двуполостным гиперболоидом (1), каждая из плоскостей и пересекает двуполостный гиперболоид в одной точке. Эти точки и называются вершинами двуполостного гиперболоида. Если же , то линией пересечения является эллипс

с полуосями

. (3)

Наряду с гиперболоидом (1) опять же рассмотрим конус

. (4)

Пересекая гиперболоид (1) и конус (4) одной и той же плоскостью и сравнивая (3) и (4) §2, делаем вывод:: и , т.е. двуполостный гиперболоид (1) лежит внутри конуса (4). Так же, как и в §3, получаем:

и ,

откуда видно, что при неограниченном удалении от плоскости двуполостный гиперболоид (1), так же как и однополостный, бесконечно близко приближается к конусу (4) (только уже изнутри), который также называется его асимптотическим конусом.

Пересекая гиперболоид (1) плоскостью , в сечении получаем гиперболу , а пересекая его плоскостью – гиперболу . Для обеих этих гипербол действительной является ось .

Двуполостный гиперболоид изображён на рис. 4.8.