4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Очевидно, що всяка нескінченно велика послідовність є необмеженою, проте не всяка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, необмежена послідовність 0, 1, 0, 2, 0, 3, ..., n, 0, n+1, … не є нескінченно великою, оскільки не існує такого номера , щоб для всіх , де виконувалася б, наприклад, нерівність .

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого (як завгодно малого) числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Приклад 1. Показати, що послідовність є нескінченно великою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності або .

Покладемо .

Тоді . Оскільки , то . Отже, при виконується нерівність .

Приклад 2. Показати, що послідовність є нескінченно малою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності одержуємо . Покладемо . Тоді для всіх маємо , тобто або .

Теорема. Якщо  нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовність нескінченно мала, і, навпаки, якщо  нескінченно мала послідовність й , то послідовність нескінченно велика.

Доведення. Нехай  нескінченно велика послідовність. Візьмемо довільне і покладемо . Оскільки нескінченно велика послідовність, то для вказаного існує номер такий, що при виконується нерівність . Звідси маємо . Отже, послідовність  нескінченно мала.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема. Сума (різниця) двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай і  нескінченно малі послідовності. Задамо довільне . Тоді існує такий номер , що при , й існує такий номер , що при . Виберемо . Тоді при виконуватимуться нерівності і . Отже, при

.

Звідси випливає, що послідовності і нескінченно малі.

Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Теорема. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай  обмежена послідовність, а  нескінченно мала. Оскільки обмежена, то існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Задамо довільне . Оскільки послідовність нескінченно мала, то існує такий номер , що при виконується нерівність . Отже, при

.

Звідси випливає, що послідовність нескінченно мала.

Наслідок 1. Добуток нескінченно малої послідовності на число є нескінченно малою послідовністю.

Наслідок 2. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Дійсно, якщо послідовність нескінченно мала, то вона обмежена. Отже, добуток двох нескінченно малих послідовностей можна розглядати як добуток нескінченно малої послідовності на обмежену.

Із наслідку 2 випливає, що добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження. Стосовно частки двох нескінченно малих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна, оскільки вона може бути нескінченно малою, постійною, нескінченно великою послідовністю або взагалі не визначеною.

ЛЕКЦІЯ 6

6. Збіжні послідовності.

7. Властивості збіжних послідовностей.

8. Невизначені вирази.