3. Найбільш вживані числові множини

Нехай . Будемо використовувати наступні позначення:

відрізок,

інтервал,

півінтервал,

півінтервал.

Указані множини ще називають проміжками. Ми розглядатимемо також і нескінченні множини, використовуючи для цього символи .

Околом точки називається довільний інтервал , який містить точку , тобто .

Інтервал називається околом точки . Точка називається центром цього околу, а число його радіусом. Зазвичай так позначають околи з центром у точці і дуже малим радіусом, тобто коли досить мале.

4. Межі числових множин

Нехай задано непорожню числову множину .

Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

При цьому числа і називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини.

Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.

Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.

Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається (supremum (лат.) – найвище).

Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається (infimum (лат.) – найнижче).

Якщо , то для довільного числа існує таке, що . Якщо , то для довільного числа існує таке, що .

Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.

Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина чисел, які обмежують зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що виконується нерівність . За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число , що виконується нерівність .

Із цієї нерівності випливає, що обмежує зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть .

5. Абсолютна величина числа

Абсолютною величиною (модулем) числа називається саме число , якщо , число – , якщо .

Абсолютна величина числа позначається символом .

Із означення абсолютної величини випливає, що нерівності і , де рівносильні, тобто .

Теорема. Абсолютна величина суми двох чисел не більше від суми абсолютних величин чисел, тобто .

Доведення. За означення абсолютної величини

для будь-яких чисел . Додаючи почленно ці нерівності, одержимо

.

Остання нерівність рівносильна нерівності

.

Теорема. Абсолютна величина різниці двох чисел не менше від різниці абсолютних величин чисел, тобто

.

Доведення. Для будь-яких чисел маємо

За попередньою теоремою

.

Звідси одержуємо

.

Зазначимо, що мають місце співвідношення