2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів

Розглянемо інтеграли від найпростіших ірраціональних дробів.

1. .

2..

3..

Тут многочлен не має дійсних коренів , отже . Виділимо повний квадрат

.

Уведемо підстановку . Тоді . Далі покладемо . Маємо:

.

Перший із інтегралів правої частині, обчислюється безпосередньо

.

Другий інтеграл обчислюється за формулою 4) таблиці основних інтегралів.

65. .

Увівши підстановку , одержимо . Покладемо . Тоді

.

Перший із інтегралів правої частини легко зводиться до інтегралу 1) таблиці основних інтегралів, а другий інтеграл

обчислюється за рекурентною формулою

.

ЛЕКЦІЯ 25

66. Інтегрування ірраціональних функцій.

67. Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

1. Інтегрування ірраціональних функцій

Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в

скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

Позначимо раціональну функцію від змінних . Наприклад, функція є раціональною від , тобто

.

Інтеграли виду ,

де  натуральні числа,  дійсні числа, причому (у іншому випадку  стала величина) обчислюється за допомогою введення нової змінної

,

де k  спільний знаменник дробів .

Приклад 1. Обчислити .

Розв’язування. Зробимо підстановку . Одержимо

.

Далі маємо

.

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язування.

.

Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.

Якщо , то вводиться нова змінна t :

,

де знаки можна брати у будь-якій послідовності.

Якщо у тричлені , то можна використати іншу підстановку

.

У випадку коли і тричлен має дійсні різні корені й , то використовується підстановка

або

.

Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні інтегралів цього типу користуються простішими методами.

68. Інтегрування деяких тригонометричних функцій

Розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій, які обчислюються в скінченному вигляді. До них належать інтеграли від раціональних функцій відносно функцій , , , , , . Оскільки функції , , та раціонально визначаються через та , то мова піде про інтеграли виду

, (33)

де – раціональна функція від та .

Інтеграли такого виду можна звести до інтегралів від раціональної функції за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки

.

Справді,

;

.

Крім того,

.

Інтеграл (33) після заміни змінної (34) набуває вигляду

, де

– раціональна функція від змінної .

Таким чином, інтеграл виду (33) завдяки підстановці (34) завжди можна обчислити в скінченому вигляді. Однак застосування підстановки (34) не завжди доцільне. В окремих випадках можна використати інші, простіші методи. Це стосується, зокрема, інтегралів виду

; (35)

, (36)

де – ціле число; та – раціональні функції від своїх аргументів.

Для обчислення інтеграла (35) застосуємо підстановку

. (37)

Матимемо

Отже,

,

де – раціональна функція від .

Аналогічно, якщо скористатися підстановкою

,

то інтеграл (36) набуває вигляду

,

де – раціональна функція від .

При обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій часто доводиться користуватися відомими формулами тригонометрії.

Розглянемо інтеграли

. (39)

Для знаходження цих інтегралів застосовують такі формули:

;

;

.

Якщо , то перший з інтегралів (39) обчислюють так:

Аналогічно обчислюють і два інші інтеграли.

При інтеграли (39) обчислюють так:

; (40)

; (41)

. (42)

Якщо , то, використовуючи непарність функції та парність функції , знаходження інтегралів (39) зводиться до випадку .

Зауважимо, що метод обчислення інтегралів (40) і (42) використовується і для інтегралів виду та .