4. Метод підстановки

В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), х(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (,  ) функції x= (t), де (t) (a, b), якщо t (,  ) маємо:

(F((t)))′ = F ′( x) ′(t) = f(x) ′(t) = f((t)) ′(t).

Таким чином,

,

тобто

.

Приклади.

1. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. Покладемо , . Тоді

.

2. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. Покладемо . Отже,

.

6. Інтегрування частинами

Нехай функції і визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді

.

Звідси маємо

.

Припустимо, що інтеграл існує. Тоді

.

Оскільки , то

. (1)

Довільну сталу С включає в себе інтеграл .

Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.

За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду

1) , , ,

де  многочлен n-ного степеня відносно х, . Тут слід прийняти .

2), , , ,

Тут також  многочлен n-ного степеня відносно х. У цих інтегралах .

Приклади.

.

.

ЛЕКЦІЯ 24

63. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.

64. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів

Розглянемо дробово-раціональну функцію , де 

многочлен n-го степеня, а  многочлен k-го степеня. Якщо n k, то, виконавши ділення, одержимо

,

де r < k. Наприклад,

.

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку

, (1)

де А коефіцієнт при старшому членові многочлена , а  корені рівняння = 0. Множники називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

, (2)

де . Числа називаються кратностями коренів . Серед коренів можуть бути й комплексні. Якщо  r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з r-кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник , де , то вона також містить і множник . Перемноживши ці множники, одержимо

=,

де , , p, q  дійсні числа.

Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді

,

де  дійсні числа.

Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.

Теорема. Правильний раціональний дріб , де

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

,

де  дійсні числа.

Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

.

Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

,

де  поки що невідомі числа.

Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів складемо систему

Розв’язавши цю систему, одержимо:

.

Отже,

.