
- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •1. Поняття рівномірної неперервності функції.
- •2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
- •3. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що проводять до поняття похідної
- •Після спрощення одержуємо
- •2. Означення похідної
- •3. Механічний та геометричний зміст похідної
- •4. Односторонні похідні
- •5. Нескінченні похідні
- •1. Диференційовність функції
- •2. Похідні елементарних функцій
- •3. Похідна оберненої функції.
- •1. Диференціал функції
- •2. Похідні й диференціали вищих порядків
- •3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
- •4. Диференціали вищих порядків.
- •Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
- •1. Теореми про середнє значення
- •2. Теорема Ферма
- •3. Теорема Ролля
- •4. Теорема Лагранжа
- •5. Теорема Коші
- •1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
- •1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен
- •6.2. Формула Тейлора для довільної функції
- •Звідси одержуємо:
- •1. Ознака монотонності функції
- •3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
- •Достатні умови існування екстремуму функції.
- •1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
- •2. Асимптоти графіка функції
- •3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків
- •Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
- •1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •5. Безпосереднє інтегрування
- •4. Метод підстановки
- •6. Інтегрування частинами
- •1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
- •2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •1. Інтегрування ірраціональних функцій
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій
- •Приклади
Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
ЛЕКЦІЯ 23
-
Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла.
-
Основні властивості невизначеного інтеграла.
-
Таблиця основних інтегралів.
-
Безпосереднє інтегрування.
-
Метод підстановки.
-
Інтегрування частинами.
1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
Однією із основних задач диференціального
числення є знаходження похідної
заданої функції
.
Різноманітні питання математичного
аналізу і його застосувань приводять
до оберненої задачі: для даної функції
знайти таку функцію
,
похідна якої рівна
,
тобто
=
.
Відтворення функції за відомою її похідною одна із основних задач інтегрального числення.
Функція
називається первісною для функції
,
на деякому проміжку Х, якщо для
усіх значень х
Х виконується рівність
=
.
Якщо
первісна для функції
,
то й функція
,
де С
довільна стала, також є первісною для
функції
,
оскільки (
)′
=
+
С ′=
+ 0 =
.
Нехай первісною функції
на проміжку Х, крім функції
,
є функція
,
тобто
=
.
Розглянемо різницю
.
Обчислимо похідну цієї різниці.
(
)′
=
=
= 0.
Отже, згідно
з теоремою Лагранжа
= С. Звідси маємо:
=
+
С.
Таким чином,
множина первісних функції
на проміжку Х, вичерпується
функціями виду
+
С, де
одна із первісних
функції
.
Означення.
Сукупність усіх первісних функції
на проміжку Х називається
невизначеним інтегралом функції
на цьому проміжку і позначається
.
Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона Лейбніца.
Якщо
одна з первісних
функції
,
то за означенням
=
+
С.
Знак
називається
знаком невизначеного інтеграла,
підінтегральною
функцією, а
підінтегральним
виразом.
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.
2. Основні властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
(
)′
=
+
С ′=
.
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
d(
)
= d
=
d(x).
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.
=
.
4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const 0, то
.
Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:
.
5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто
.
Доведення.
.
3. Таблиця основних інтегралів
Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:
1.,
2.
,
3.
,
4.
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
13.
,
14.
5. Безпосереднє інтегрування
Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.
Приклади.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.