2. Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої при віддаленні точки у нескінченність прямує до нуля.

Із наведеного означення випливає, що асимптоти можуть існувати лише у тих кривих, які мають як завгодно віддалені точки, тобто у “нескінчених” кривих.

Надалі розрізнятимемо похилі і вертикальні асимптоти. До похилих асимптот належать також і горизонтальні асимптоти.

Теорема. Якщо функція визначена на нескінченості і існують границі

(1)

то пряма є похилою асимптотою кривої при .

Аналогічно, якщо існують границі

(2)

то пряма є похилою асимптотою кривої при .

Доведення. Розглянемо випадок . Оскільки за умовою існують границі (1), то . Число дорівнює довжині відрізка від точки прямої до точки графіка функції (рис. 30).

Рис. 30

Відстань від точки до прямої рівна , де  кут, який утворює пряма з додатним напрямом вісі ( , оскільки мова йде про похилі асимптоти). Отже, =. Тоді

.

Випадок, коли доводиться аналогічно.

Якщо , то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції при . Те ж стосується і випадку .

Зауваження. Якщо не існує границя , то не існує і границя . Отже, у цьому випадку графік функції при асимптот не має. Якщо границя існує і рівна , а границя не існує, то у цьому випадку графік функції також асимптот не має.

Із означення асимптоти кривої випливає, що пряма є вертикальною асимптотою, якщо принаймні одна з границь або рівна або .

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків

При дослідженні функцій і побудові їх графіків може бути застосована, наприклад, наступна схема:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки розриву та визначити їх тип.

3. Знайти асимптоти графіка функцій.

4. Знайти похідну функції і за її допомогою встановити інтервали зростання і спадання функції.

5. Знайти точки максимуму і мінімуму функції, а також максимальне й мінімальне значення функції.

6. Знайти другу похідну і за її допомогою визначити інтервали опуклості й точки перегину графіка функції.

7. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

8. Враховуючи одержані результати, побудувати графік функції.

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв'язування.

1. Область визначення функції є об'єднання інтервалів .

2. Оскільки функція не визначена в точці , то з'ясуємо поведінку функції в околі цієї точки.

.

У точці функція має розрив другого роду.

3. Пряма є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти.

Пряма є похилою асимптотою.

4. Знайдемо похідну функції, інтервали зростання і спадання

.

Похідна функції рівна нулю в точках і . У точці похідна невизначена. В інтервалі похідна додана, функція зростає; в інтервалах і похідна від'ємна, функція спадає; в інтервалі похідна додана, функція зростає.

5. Точка є точкою максимуму, а точка є точкою мінімуму функції.

6. З найдемо другу похідну функції, інтервали опуклості та точки перегину графіка функції.

.

Друга похідна в області визначення функції нулю не дорівнює. В інтервалі друга похідна від'ємна, функція опукла; в інтервалі друга похідна додатна, функція вгнута. Точок перегину графік функції не має.

7. Графік функції перетинає координатні вісі в точці .

8. Схема графіка функції зображена на рисунку 31.

Рис. 31