6.2. Формула Тейлора для довільної функції

Теорема Тейлора. Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що

₍₃₎

Доведення. Позначимо

Покладемо

Покажемо, що існує точка така, що

.

Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай  змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

.

Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1. неперервна на ,

2. диференційована на ,

( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )

3. на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно

Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .

Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

.

Далі маємо:

.

Звідси одержуємо:

.

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз  залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки , то , де . Тоді

, де .

Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

При маємо формулу Лагранжа

Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно

.

Отже, залишковий член можна подати у формі

при ,

яка називається формою Пеано.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

.

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

де ,

а в формі Пеано

.

Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .

Розв'язування.

1. . Оскільки , то . Отже,

.

2. . Так як , то

Звідси маємо

3. . ;

;

ЛЕКЦІЯ 21

54. Ознака монотонності функції.

55. Екстремальні точки.

56. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.

1. Ознака монотонності функції

Теорема . Якщо функція диференційована на інтервалі і на , то функція зростає (спадає).

Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалі дві довільні точки такі, що . На відрізку функція задовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точка така, що

.

Звідси випливає, що за умов і маємо: , тобто .

Для випадку доведення аналогічне.

2. Екстремальні точки

Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує - окіл точки такий, що для будь-якої відмінної від точки . При цьому саме значення називається локальним максимумом (мінімумом) функції .

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму або екстремальними точками функції .

3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції

Необхідна умова існування локального екстремуму функції. Якщо в точці функція має екстремум, то існує окіл точки , в якому значення є найбільшим або найменшим. Отже, якщо в точці функція диференційована, то згідно теореми Ферма .

Зазначимо, що коли функція диференційована в точці і , то або , тобто функція зростає, або і функція спадає. Звідси випливає, що функція може мати екстремум лише в тих точках, у яких її похідна рівна нулю, або не існує.

Точки, в яких похідна функції рівна нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки й точки, в яких функція визначена, але її похідна не існує називаються критичними.

Отже, для того, щоб функція мала в точці екстремуму, необхідно, щоб ця точка була критичною.