5. Теорема Коші

Теорема. Якщо функції і 1) неперервні на відрізку ,

2) диференційовані на інтервалі , і ,

то існує точка така, що .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію

.

Легко перевірити, що ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля: неперервна на , диференційована на і . Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Оскільки

,

то

.

Звідси маємо

.

Одержана формула називається формулою Коші або узагальненою формулою скінчених приростів.

Зауваження. У формулі Коші тому, що за умови , згідно з теоремою Ролля існувала б точка така, що , що суперечить умові .

ЛЕКЦІЯ 19

51. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

2.Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .

1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Теорема 1 ( правило Лопіталя). Нехай функції і визначені в проміжку і . Нехай, крім того, в проміжку існують скінченні похідні і , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

Доведення. Доозначимо в точці функції і , поклавши . Тоді на відрізку функції і задовольняють умовам теореми Коші. Отже,

,

де . Якщо , то зрозуміло, що й . Враховуючи, що і те, що існує границя , робимо висновок

.

Зауваження. Якщо похідні і задовольняють умовам, котрі накладаються в наведеній теоремі на функції і , то правило Лопіталя можна застосувати повторно, тобто

.

Теорема 1 справджується й тоді, коли . Нехай функції і визначені в проміжку , , і в проміжку існують скінчені похідні та , де . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

Для доведення цього твердження достатньо покласти і застосувати теорему 1.

Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції і визначені в проміжку , і в проміжку існують скінчені похідні та , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, в книзі Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, т. 1.  М.: Наука, 1964. Теорема 2 має місце також, коли .

Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності типу .

Приклади.

1. 

2. 

2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .

Правило Лопіталя можна застосовувати при розкритті невизначеностей вигляду .

Приклади.

1. 

.

2. 

.

3. .

4. 

Знайдемо .

Отже, .

5. .

Знайдемо

.

Отже, .

ЛЕКЦІЯ 20

52. Формула Тейлора для многочлена.

53. Формула Тейлора для довільної функції.

1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен

,

де  дійсні числа. Продиференціюємо многочлен раз.

Якщо в наведених формулах покласти , то одержимо

Отже, можна записати

(1)

Нехай маємо многочлен за степенями , де  деяке стале дійсне число, тобто

,

де  дійсні числа. Поклавши , матимемо

.

Звідси аналогічно до попереднього, одержимо

(2)

Формула (1) є окремим випадком () формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.