2. Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна функції сама є деякою функцією аргументу . Отже, можна ставити питання про існування похідної від функції . Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною. ЇЇ позначають або . Отже, .

Приклад. Знайти похідну другого порядку функції .

Розв'язування.

,

.

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

Якщо визначена похідна - го порядку функції , то похідною - го порядку називається перша похідна похідної - го порядку, тобто

.

Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються похідними вищих порядків.

Формули п- них похідних деяких функцій. Нехай маємо функцію , тоді

Отже, похідну - го порядку функції можна знайти за формулою

Аналогічно можна одержати формулу для обчислення - ої похідної функції

Обчислимо - ну похідну функції .

Нехай маємо показникову функцію . Послідовно диференціюючи цю функцію, одержуємо

Зокрема,

3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

Нехай , де - функції, які мають похідні будь-якого порядку. Тоді

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які визначають порядок похідних. При цьому самі функції розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто . Враховуючи це, одержуємо

Зауваження. Доведення викладених вище формул похідних проводиться методом математичної індукції.

4. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y = f (x)

диференційована в кожній точці деякого проміжку . Її диференціал першого порядку dy =f ′(x)dx

є функцією двох змінних: аргументу і диференціала . Нехай також диференційована в кожній точці деякого проміжку . Будемо розглядати у виразі диференціал як постійний множник. Тоді

.

Диференціал називається диференціалом другого порядку і позначається . Отже,

.

Диференціал від диференціала , взятий при постійному називається диференціалом -го другого порядку функції і позначається .

Методом математичної індукції можна встановити, що

.

Із останньої формули випливає, що

,

або в іншій редакції

.

Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій

ЛЕКЦІЯ 18

46. Теореми про середнє значення.

47. Теорема Ферма.

48. Теорема Ролля.

49. Теорема Лагранжа.

50. Теорема Коші.

1. Теореми про середнє значення

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.