2. Означення похідної

Нехай в деякому проміжку визначена функція . Виберемо довільну точку і надамо приросту такого, що .

Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст . Нехай в точці існує границя .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну функції в точці позначають так: або . Отже, за означенням

.

Якщо функція має похідну в кожній точці , то похідна є функцією від і в цьому випадку позначається так: або .

3. Механічний та геометричний зміст похідної

Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху по часу дорівнює миттєвій швидкості в момент часу , тобто

.

Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна , якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з координатами , .

4. Односторонні похідні

Використовуючи означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної функції в точці .

Правою (лівою) похідною функції в точці називається права (ліва) границя відношення при (за умови, що ця границя існує).

Права похідна позначається так: , а ліва .

Якщо функція в точці має похідну, то вона має як праву, так і ліву похідну і ці похідні рівні між собою. Проте не в кожній точці , у якій існують права і ліва похідні, існує похідна функції. Так, наприклад, функція в точці має праву похідну

і ліву , але похідної в точці функція не має, оскільки .

5. Нескінченні похідні

Якщо відношення при прямує до або , то це невласне число називається нескінченою похідною.

Геометричний зміст похідної як кутового коефіцієнта дотичної розповсюджується і на цей випадок. Тут дотична паралельна вісі (рис. 17, 18, 19).

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Аналогічно установлюється поняття односторонньої нескінченої похідної. У цьому випадку наявність в точці різних за знаком односторонніх нескінченних похідних забезпечує існування єдиної вертикальної дотичної.

ЛЕКЦІЯ 16

39. Диференційовність функції.

40. Похідні елементарних функцій.

41. Похідна оберненої функції.

1. Диференційовність функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де - деяке число, не залежне від , а - нескінчено мала функція при , тобто .

Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці існує похідна .

Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо. За властивістю границі є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де  деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.

Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.