1. Поняття відображення або функції.

2. Потужність множин.

3. Зчисленні множини.

4. Математична індукція.

1. Поняття відображення або функції

Нехай X і Y дві множини. Відображенням f множини X у множину Y називається правило, яке кожному елементу ставить у відповідність один і тільки один елемент .

Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор", "відповідність".

Записи означають, що f є відображенням множини X у множину Y.

Для позначення функції вживаються й інші букви, наприклад .

Елемент y, який відображення f ставить у відповідність елементу , називається образом елемента при відображенні f або значенням відображення f у точці і позначається символом . Множина X називається областю визначення відображення f і позначається . Множина називається множиною значень відображення f.

Нехай . Образом множини A при відображенні f називається множина . Прообразом множини при відображенні називається множина .

Графіком функції називається множина .

Якщо і , то функція , яка визначається формулами називається складеною функцією, або суперпозицією функцій f і g.

Приклади.

Відображення називається відображенням множини Х на множину або сур'єкцією, якщо .

Відображення називається взаємооднозначним відображенням множини X у множину Y або ін'єкцією, якщо

Відображення , яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається бієкцією. У цьому випадку говорять, що здійснює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

Якщо − бієкція, то Функція називається оберненою до бієкції , якщо та .

Відображення називається послідовністю елементів із . Послідовність позначається так: де − -ний член послідовності.

2. Потужність множин

Множина, яка складається із скінченного числа елементів, називається скінченною. Для скінченної множини число її елементів позначається . Скінченні множини можна порівнювати за кількістю їх елементів. Виникає питання, як можна порівнювати нескінченні множини? Г. Кантор побудував теорію, яка містить відповідь на поставлене питання. Вихідним пунктом цієї теорії є поняття потужності множини.

Множини і називаються рівнопотужними (мають однакову потужність), якщо існує бієкція . Рівнопотужні множини позначають так: A ~ B.

3. Зчисленні множини

Множина називається зчисленною, якщо A ~ N. У цьому випадку говорять, що елементи множини можна занумерувати.

Мають місце наступні твердження:

1. Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.

2. Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

3. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.

5. Існують незчисленні множини.

Доведення першого і другого твердження досить прості. Їх пропонується виконати самостійно. Спинимось на доведенні твердження 3.

Нехай - зчисленні множини. Тоді для кожного .

Елементи об'єднання цих множин можна подати у вигляді таблиці

… …

… …

… …

…………………………………………

і занумерувати, наприклад у порядку, вказаному стрілками. Цим саме буде встановлена бієкція . Отже, .

Аналогічно доводиться твердження 4.

Нехай . Тоді декартів добуток складається із пар, які можна розташувати в такому порядку

і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку.

Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.

Нехай − множина всіх можливих нескінченних ланцюгів, що складаються з двох символів, наприклад 0 і 1, вигляду

Покажемо, що множина незчисленна. Припустимо, що елементи множини занумеровані, тобто що множина зчисленна. Нехай

де кожне дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент , поклавши , і кожне відповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що , але не збігається з жодним із занумерованих елементів . А це суперечить тому, що всі елементи множини можна занумерувати.