Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної

ЛЕКЦІЯ 15

34. Задачі, що проводять до поняття похідної.

35. Означення похідної.

36. Механічний та геометричний зміст похідної.

37. Односторонні похідні.

38. Нескінченні похідні.

1. Задачі, що проводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки до деякої початкової точки даної прямої в момент часу через . Тоді в момент часу , де - приріст часу, точка буде знаходитися на відстані від точки рівній . Різницю назвемо приростом ляху.

Відношення називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу .

Швидкістю руху точки в момент часу або миттєвою швидкістю називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю і прискоренням .

Розв'язування. Залежність шляху від часу при рівно прискореному русі виражається формулою . Тоді . Отже,

.

Після спрощення одержуємо

.

Таким чином

.

Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані від початкової точки (див. рис. 11).

Позначимо величину маси відрізка . Візьмемо деяку точку , яка знаходиться на відстані від початкової точки . Тоді маса відрізка буде рівною . Отже, маса відрізка , яку ми назвемо приростом маси в точці ,

.

Відношення називається середньою густиною стержня на відрізку і позначається .

Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою , де - сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані від початку стержня.

Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці

.

Отже,

.

Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої в точці називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної за умови, що точка по кривій прямує до точки (рис. 12).

З азначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці кривої (рис. 13), точці кривої (рис. 14), точці кривої (рис. 15).

Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням , де неперервна функція, визначена на деякому проміжку . Поставимо задачу: знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці , де (рис. 16).

Візьмемо на кривій точку . Через точки проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі кут . Тоді .

Якщо точка по кривій наближатиметься до точки , то координати точки наближатимуться до координат точки , тобто

.

Звідси випливає, що коли точка , то . З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції маємо: , тобто і при цьому . Таким чином

.

Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через , то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.