1. Поняття рівномірної неперервності функції.

Нехай функція неперервна на деякому проміжку . Виберемо довільну точку . Тоді за означенням неперервності функції в точці для довільного числа знайдеться число таке, що нерівність виконуватиметься для всіх , що задовольняють умову .

Зрозуміло, що число залежить як від числа , так і від (див. рис. 10).

Виникає питання, чи існують неперервні функції, визначені на певних проміжках, такі, що для будь-якого числа знаходилося б , незалежне від , тобто, щоб було єдиним для довільного значення із проміжку визначення функції (залежне лише від ) і таким, що нерівність виконувалася б за умови .

Розв'язання цього питання приводить до поняття рівномірної неперервності функції.

Функція називається рівномірно неперервною на проміжку , якщо для будь-якого числа існує таке, що для довільних точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення. Нехай для деякого визначеного числа не існує такого числа , про яке йде мова в означенні рівномірної неперервності. У такому випадку для будь-якого числа знайдуться такі два значення , що , але .

Візьмемо послідовність додатних чисел, збіжну до нуля, . Для кожного знайдуться в значення такі, що , але . Оскільки кожне належить відрізку , то послідовність , про яку йде мова, обмежена. Отже, із неї можна вибрати підпослідовність, збіжну до деякої точки , яка належить відрізку . Для спрощення позначень будемо вважати, що сама послідовність збігається до . Оскільки , то і . Отже, послідовність також збігається до . Тоді за неперервністю функції на відрізку й із того, що , випливає: і .

Звідси маємо , що суперечить тому, що за припущенням для всіх значень .

Звернемо увагу на те, що наведена теорема не виконується, якщо замість відрізка узяти інтервал чи один із півінтервалів .

Приклад. Функція неперервна на інтервалі , але вона не є на цьому інтервалі рівномірно неперервною. Дійсно, нехай фіксоване. Тоді б яке ми не взяли, завжди знайдуться точки , достатньо близькі до нуля, і такі, що , але .

Наслідок. Нехай функція визначена та неперервна на відрізку . Тоді за заданим знайдеться таке , що при розбитті відрізка на частинні відрізки, які не мають спільних точок або мають єдину спільну точку і довжини яких менші від , коливання функції на кожному із частинних відрізків буде меншим від .

3. Теорема про неперервність оберненої функції.

Нехай функція визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку , і нехай множина − множина значень. Тоді на множині обернена функція однозначна, строго монотонна та неперервна.

Доведення. Нехай для визначеності функція на множині зростаюча, тобто для довільних , що задовольняють умову , виконується нерівність .

Однозначність оберненої функції випливає з того, що, оскільки зростаюча на , справедлива нерівність при . Отже, кожному відповідає єдине значення .

Покажемо, що обернена функція на множині зростаюча. Дійсно, якщо , то , оскільки за умови виконувалася б умова , що суперечить допущенню .

Установимо тепер, що функція на множині неперервна. Для цього спочатку доведемо наступну лему.

Лема. Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) функції , визначеної на деякій множині , знаходиться в деякому проміжку , який вона заповнює весь, то функція в проміжку неперервна.

Щоб це довести, візьмемо точку , котра не є його правим кінцем, і покажемо, що в цій точці функція неперервна справа. Точка належить проміжку і не є його кінцем тому, що є значення такі, що і їм відповідають у значення . Нехай довільне, але настільки мале число, щоб значення також належало проміжку . Оскільки за припущенням , то існує таке значення , що , причому ( оскільки при і ). Покладемо , тобто . Якщо тепер , тобто , то або .

Це і означає, що . Тобто функція неперервна в точці справа.

Аналогічно можна встановити неперервність функції у точці зліва, якщо не є лівим кінцем проміжку . Звідси в сукупності буде випливати твердження, що розглядаємо.

Перейдемо до доведення неперервності функції . Оскільки ця функція, як уже встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь проміжок , то відповідно до леми функція неперервна.