
- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •1. Поняття рівномірної неперервності функції.
- •2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
- •3. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що проводять до поняття похідної
- •Після спрощення одержуємо
- •2. Означення похідної
- •3. Механічний та геометричний зміст похідної
- •4. Односторонні похідні
- •5. Нескінченні похідні
- •1. Диференційовність функції
- •2. Похідні елементарних функцій
- •3. Похідна оберненої функції.
- •1. Диференціал функції
- •2. Похідні й диференціали вищих порядків
- •3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
- •4. Диференціали вищих порядків.
- •Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
- •1. Теореми про середнє значення
- •2. Теорема Ферма
- •3. Теорема Ролля
- •4. Теорема Лагранжа
- •5. Теорема Коші
- •1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
- •1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен
- •6.2. Формула Тейлора для довільної функції
- •Звідси одержуємо:
- •1. Ознака монотонності функції
- •3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
- •Достатні умови існування екстремуму функції.
- •1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
- •2. Асимптоти графіка функції
- •3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків
- •Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
- •1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •5. Безпосереднє інтегрування
- •4. Метод підстановки
- •6. Інтегрування частинами
- •1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
- •2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •1. Інтегрування ірраціональних функцій
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій
- •Приклади
2. Операції над неперервними функціями
Теорема.
Якщо функції
неперервні в точці
,
то функції
у точці
також неперервні.
Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.
Теорема
(про неперервність складеної функції).
Якщо функція
неперервна в точці
,
а функція
неперервна в точці
,
причому
,
то складена функція
неперервна, як функція від
,
у точці
.
Доведення.
Нехай задано довільне число
.
Тоді за неперервністю функції
у точці
знайдеться число
таке, що
для всіх
,
які задовольняють умову
.
Для
числа
за неперервністю функції
у точці
знайдеться число
таке, що
для всіх
,
які задовольняють умову
.
Отже,
для довільного числа
знайдеться число
таке, що з умови
випливає нерівність
,
а це означає, що функція
неперервна в точці
.
Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.
Звернемо
увагу на те, що з означення неперервності
функції
у точці
випливає
.
Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.
-
.
Доведення.
.
Якщо
,
то маємо:
,
тобто при
виконується
.
-
.
Доведення.
Покладемо
.
Тоді
.
Якщо
,
то
і
.
.
Якщо
,
то маємо:
,
тобто при
справедливо
.
-
.
Доведення.
Покладемо
.
Якщо
,
то
і
.
Далі
.
Звідси маємо:
.
Тоді
Розглянемо
степенево-показниковий вираз
.
Нехай
.
Запишемо
.
Оскільки
,
то
.
Звідси маємо
.
Зазначимо,
що вирази
є не визначеними. Для знаходження
відповіді на питання, що є границею
виразу
,
у цих випадках недостатньо знати лише
границі функцій
,
потрібно знати закон, за яким вони
прямують до своїх границь.
3. Класифікація точок розриву функції.
Точка
називається точкою розриву функції
,
якщо функція
у точці
не є неперервною.
Точки розриву класифікують наступним чином.
Розриви
першого роду.
Якщо в точці
функція
має скінченну ліву й скінченну праву
границю і вони рівні між собою, тобто
,
але
відмінні від значення функції
в точці
або значення
не існує, то точка
називається точкою усувного розриву
функції
.
Якщо в точці
функція
має скінченну границю справа і скінченну
границю зліва й
,
то точка
називається точкою розриву функції
із скінченним стрибком.
Розриви
другого роду.
Точка
називається точкою розриву другого
роду функції
,
якщо в цій точці функція
не має принаймні однієї з односторонніх
границь або хоча б одна з односторонніх
границь є нескінченною.
Кусково-неперервні
функції. Функція
називається кусково-неперервною на
відрізку
,
якщо вона неперервна в усіх внутрішніх
точках
,
за винятком, можливо, скінченного числа
точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім
того, має односторонні границі в точках
та
.
ЛЕКЦІЯ 13
-
Основні властивості неперервних функцій.
1. Основні властивості неперервних функцій
Перша теорема Больцано-Коші (теорема
про обернення функції в нуль). Нехай
функція
неперервна на відрізку
і на його кінцях значення функції мають
різні знаки. Тоді існує точка
така, що
.
Доведення.
Нехай для визначеності
.
Розділимо відрізок
навпіл. Якщо
,
то теорема доведена. Якщо
,
то виберемо ту половину відрізка
,
на кінцях якої функція
має значення різних знаків, і позначимо
її
.
Розділимо відрізок
навпіл. Якщо
,
то теорема доведена, в іншому випадку
виберемо ту половину відрізка
,
на кінцях якої функція
має значення різних знаків, та позначимо
її
.
Якщо цей процес продовжувати необмежено,
то або на якомусь
-ому
кроці значення функції в середині
відрізка
буде рівним нулю і тоді теорема доведена,
або одержимо послідовність укладених
відрізків
таких, що
при
і на кінцях кожного з відрізків
функція
має значення різних знаків,
.
За теоремою
про вкладені відрізки існує точка
,
яка належить кожному із відрізків
і
.
Ураховуючи неперервність функції
(зокрема в точці
),
маємо
.
Звідси
одержуємо
.
Друга
теорема Больцано-Коші (теорема про
проміжне значення). Нехай функція
неперервна на відрізку
і на кінцях цього відрізка приймає
значення
де
.
Тоді для будь-якого числа
існує точка
така, що
.
Доведення.
Нехай для визначеності
.
Розглянемо допоміжну функцію
.
Ця функція неперервна на відрізку
і
,
.
За першою
теоремою Больцано-Коші існує точка
така, що
.
Але
.
Отже,
,
тобто
.
Перша
теорема Вейєрштрасса. Якщо функція
неперервна на відрізку
,
то вона обмежена на цьому відрізку.
Доведення.
Нехай функція
неперервна на відрізку
.
Припустимо, що вона на відрізку
не обмежена. Поділимо відрізок
пополам і виберемо ту його частину, де
функція
не обмежена. Позначимо її
.
Відрізок
також поділимо пополам і виберемо ту
його частину, де функція
не обмежена. Позначимо вибрану половину
.
Продовжуючи необмежено цей процес,
одержимо послідовність укладених
відрізків
таких, що
при
.
За теоремою про вкладені відрізки існує
точка
,
яка належить кожному із них і
.
За означенням границі послідовності
для будь-якого числа
>0
існує такий номер
,
що при
з іншого боку, існує такий номер
,
що при
.
Нехай
.
Тоді при
виконуються нерівності:
, тобто всі відрізки
,
де
попадають в інтервал
.
Таким чином, функція
не обмежена в деякому
-околі
точки
.
Але це неможливо, оскільки функція
неперервна на відрізку
,
а значить, неперервна і в точці
,
тобто в точці
існує скінченна границя функції
,
а тому в околі цієї точки вона обмежена.
Друга
теорема Вейєрштрасса. Якщо функція
неперервна на відрізку
,
то вона досягає на цьому відрізку своїх
точних меж, тобто існують такі точки
,
що
.
Доведення.
Нехай функція
неперервна на відрізку
.
За першою теоремою Вейєрштрасса функція
на відрізку
обмежена. Отже, вона має точну верхню
межу
і точну нижню межу
.
Покажемо, що існує точка
така, що
.
Припустимо, що в жодній точці відрізка
функція
не приймає значення, рівного
,
тобто для всіх точок
.
Складемо допоміжну функцію
.
Ця функція на відрізку
неперервна, а тому обмежена. Отже, існує
число
таке, що для всіх
.
Із цієї
нерівності маємо:
.
Таким чином,
– верхня межа функції
на відрізку
.
Але це суперечить тому, що число
точна верхня межа цієї функції на
відрізку
.
Звідси випливає, що зроблене припущення
неправильне, тобто існує точка
така, що
.
Друга частина теореми доводиться аналогічно.
Зауваження.
Точна верхня межа функції
,
неперервної на відрізку
,
називається її найбільшим (максимальним)
значенням на цьому відрізку, а точна
нижня межа – її найменшим (мінімальним)
значенням. Різниця
,
де
,
називається коливанням функції на
відрізку
.
ЛЕКЦІЯ 14
-
Поняття рівномірної неперервності функції.
-
Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
-
Теорема про неперервність оберненої функції.