3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.

Нехай і нескінченно малі в точці функції. Якщо , то говорять, що в околі точки є нескінченно малою вищого порядку порівняно з , і пишуть .

Якщо , де , то функції і називаються нескінченно малими одного порядку в околі точки .

Якщо , де , додатне число, то функція називається нескінченно малою порядку відносно нескінченно малої функції .

Якщо , то нескінченно малі функції і називаються непорівнянними в околі точки .

Якщо , то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими в околі точки . У цьому випадку пишуть .

Теорема. Якщо при й існує границя , то існує границя , причому .

Доведення.

Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.

Приклад.

При маємо отже,

Теорема. Для того, щоб функції і були еквівалентними нескінченно малими в околі точки , необхідно й достатньо, щоб їх різниця була в околі точки нескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функцій та .

Доведення. Нехай в околі точки . Тоді

Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.

Нехай .

Звідси маємо

.

Таким чином, , тобто в околі точки .

Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції

ЛЕКЦІЯ 12

27. Неперервність функції в точці.

28. Операції над неперервними функціями.

29. Класифікація точок розриву функції.

1. Неперервність функції в точці

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Функція називається неперервною в точці , якщо .

Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.

Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .

Функція називається неперервною в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Наведені означення рівносильні.

Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .

Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.

Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Дійсно, умову можна записати як . Тоді

.

Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі . Якщо при цьому в точці функція неперервна справа, а в точці – неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .

Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").