1. Поняття метричного простору

Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.

Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.

Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини елементів (точок) і відстані – однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари , яка задовольняє наступні аксіоми:

1. тоді і тільки тоді, коли ;

2. (аксіома симетрії);

3. (аксіома трикутника).

Сам метричний простір, як правило, позначається .

Множина дійсних чисел із відстанню

утворює метричний простір, що позначається .

Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.

Відкритою кулею у метричному просторі називається сукупність точок , які задовольняють умову

.

Відкрита куля радіуса з центром називається -околом точки і позначається .

У просторі відкритою кулею з центром є множина точок , для яких виконується нерівність

,

а − околом точки є множина точок , для яких

.

Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множини позначається і називається замиканням цієї множини.

Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із .

Гранична точка може належати, а може і не належати .

Точка називається ізольованою точкою множини , якщо вона належить і існує такий -окіл точки , у якому немає точок із , за винятком самої точки .

Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.

Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці , якщо таке, що .

Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до , якщо.

Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність точок із , яка збігається до .

Нехай – дві множини простору . Множина називається щільною у , якщо . Зокрема, множина називається скрізь щільною у просторі , якщо .

Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.

Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулі існує інша куля , яка не має з жодної спільної точки.

Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.

Множина метричного простору називається замкнутою, якщо , тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.

Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.

Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки, який цілком міститься в .

Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.

Інтервал числової прямої є відкритою множиною.

Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкнутим.

Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).