§ 4. Правило Лопиталя (1661 – 1704)

Т е о р е м а 11. (раскрытие неопределенности вида ). Пусть функции f₁(x) и f₂(x) определены и дифференцируемы в точке а и некоторой ее окрестности (хотя бы односторонней) и

,

а f ₂(x)  0 в указанной окрестности. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и , причем

.

Эту теорему называют правилом Лопиталя.

Доказательство. Пусть существует , тогда

Что и требовалось доказать.

Следствие. Правило Лопиталя справедливо и для неопределенности вида , т. е. когда

f₁(x) → , f₂(x) →  при х → а.

Доказательство.

Замечание. Если относительно производных f ₁(x) и f ₂(x) продолжает сохраняться неопределенность, то правило Лопиталя применяют повторно.

Другие виды неопределенностей и их раскрытие

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида , которые называют основными.

Неопределенности вида:

а) 0∙, б)  – , в) 0⁰, г) ⁰, д) 1^

сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

а) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида 0∙. Можно искомое выражение переписать в виде

или

б) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида  – .

.

В результате получаем либо определенность, либо неопределенность вида ∙0.

в) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида 0⁰.

Положив нужно прологарифмировать обе части полученного равенства:

.

Получим неопределенность типа 0∙. Вычислив , легко получить , т. е.

,

и если , то .

Аналогичным приемом находятся пределы и в случае г), д).

§ 5. Исследование функции одной переменной

Т е о р е м а 12. (о постоянстве функции на отрезке). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет во всех его внутренних точках производную f (x) = 0, то функция постоянна на отрезке [a, b].

Следствие. Если производные двух функций φ (х) и g (x) равны во всех точках отрезка [a, b], то разность этих функций постоянна на этом отрезке.

Т е о р е м а 13. (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на отрезке [a, b] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть f (x) > 0 для всех х ∈ (a, b). Рассмотрим два произвольных значения х₁ и х₂ из [a, b], причем х₁ < х₂. Напишем формулу Лагранжа применительно к отрезку [х₁, х₂]:

f (x₂) – f (x₁) = (x₂ – x₁)∙f (c), с ∈ (х₁, х₂).

По условию теоремы f (с) > 0, т. к. х₁ < х₂, то и (х₂ – х₁) > 0. Тогда произведение

(х₂ – х₁)∙ f (с) > 0

и, следовательно,

f (x₂) – f (x₁) > 0.

Отсюда f (x₂) > f (x₁), т. е. f (x) возрастает на отрезке [a, b]. Что и требовалось доказать.

Подобным же образом доказывается следующая теорема.

Т е о р е м а 14. (достаточное условие убывания функции). Если непрерывная на отрезке [a, b] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на отрезке [a, b].

Определение10. Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х  с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) > f (x).

Функция у = f (x) имеет минимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х  с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) < f (x).

Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции.

Геометрическое истолкование.

Значения функций f (с₁) и f (с₃) больше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с₁ и с₃ соответственно, следовательно в точках с₁ и с₃ функция f (х) имеет максимум.

Аналогично, значение функций f (с₂) и f (с₄) меньше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с₂ и с₄ соответственно, следовательно в точках с₂ и с₄ функция f (х) имеет минимум.

Следует отметить, что если функция имеет в точке максимум или минимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее или наименьшее значение во всей области ее определения. Из определения максимума (минимума) следует только то, что это самое большее (меньшее) значение функции в точках, достаточно близких к точке с.

Нетрудно видеть, что функция, изображенная на рисунке имеет наименьшее значение в точке с₂, а наибольшее в точке х = b, т. е.

f_наим = f (с₂) , f_наиб = f (b).

Может оказаться, что минимум функции больше чем максимум:

f_max(c₁) < f_min(c₄).

Т е о р е м а 15. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке х = с функция у = f (x) имеет в этой точке экстремум, то ее производная при х = с обращается в ноль, т. е. f (с) = 0.

Доказательство. Пусть, для определенности, функция у = f (x) имеет в точке с максимум. Согласно определению максимума, должна существовать такая окрестность точки с, что для любого х (х  с) этой окрестности

f (с) > f (x),

т. е. f (с) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Так как по условию функция имеет в точке с производную f (с), то по теореме Ферма

f (с) = 0.

Аналогично доказывается теорема и для случая минимума функции.

Замечание. Функция может достигать экстремума, так же в точке, в которой производная не существует. Например, у = |x| не имеет производной в точке х = 0, но достигает в ней минимума. Функция , не имеет в точке х = 0 производной, но достигает в ней максимума.

С л е д с т в и е. Если непрерывная функция у = f (x) имеет в точке х = с экстремум, то производная f (с) обращается в ноль или не существует.

Определение 11. Значения аргумента, при которых производная обращается в ноль или терпит разрыв, будем называть стационарными или критическими точками функции (точки подозрительные на экстремум).

Замечание. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума, т. е. условие того, что у = 0 не является достаточным условием существования экстремума. Так, например, функция у = х³ в точке х = 0 имеет f (0) = 0:

у = 3 х² = 0, следовательно х = 0,

х = 0 – стационарная точка. Однако в этой точке функция не имеет экстремума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда х³ < 0 при х < 0 и х³ > 0 при х > 0.

Т е о р е м а 16. (первый достаточный признак существования экстремума). Если производная функции f (x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку х = с меняет знак с плюса на минус, то функция в точке с имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум, т. е. если f (с) = 0 и

– при f (c) –максимум;

– при f (с) – минимум.

Замечание. Если производная f (x) не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Т е о р е м а 17. (второй достаточный признак существования экстремума). Пусть f (с) = 0. Тогда, если f (с) < 0, то в точке х = с функция имеет максимум; если f (с) > 0, то в точке х = с функция имеет минимум.

Определение 12. График функции у = f (x) называется выпуклым вверх (выпуклым) в интервале (а, b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции у = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым) в интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

График выпуклый График вогнутый

Т е о р е м а 18. (достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть у = f (x) имеет вторую производную во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала f (х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый, если же f (х) > 0, – вогнутый.

Определение 13. Точка графика, при переходе через которую график функции у = f (x) меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих теоремах.

Т е о р е м а 19. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная f (х) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка с абсциссой х = х₀ является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, f (х) < 0 при x < x₀ и f (х) > 0 при x > x₀. В этом случае слева от точки х₀ график выпуклый, а справа от точки х₀ – вогнутый.

Следовательно, при переходе через точку х₀ график у = f (x) меняет характер выпуклости. Тогда по определению точка х₀ является точкой перегиба.

Т е о р е м а 20. (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция у = f (x) имеет в интервале (а, b) непрерывную производную f (х). Тогда, если точка с абсциссой x₀ ∈ (а, b) является точкой перегиба графика данной функции, то f (х₀) = 0.

Доказательство. Пусть х₀ – точка перегиба с выпуклости на вогнутость, тогда f (х) < 0 при х < х₀ и f (х) > 0 при х > х₀. Тогда по первому достаточному признаку существования экстремума (теорема 5) х = х₀ – точка минимума функции f (х). Следовательно, по необходимому условию существования экстремума (теорема 4) f (х₀) = 0.

Рассмотрим рисунки:

Определение 14. Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат (см. примеры на рис. выше).

Классификация асимптот: наклонная (не параллельна ни одной из осей координат), горизонтальная (параллельна оси Ох), вертикальная (параллельна оси Оу).

Правило нахождения наклонной и горизонтальной асимптот

Т е о р е м а 21. (о параметрах асимптот). Если y = k∙x + b – уравнение асимптоты кривой у = f (x), то

.

С л е д с т в и е. Если k = 0, а b – конечное число, то график у = f (x) будет иметь горизонтальную асимптоту у = b.

Замечания. 1) Если хотя бы один из пределов теоремы 21 не существует, то график у = f (x) не имеет асимптоты при х → + .

2) Аналогично находятся асимптоты при х → – . Пределы теоремы 21 при х → +  и при х → –  могут быть различными.

3) Формулы в теореме 21 годятся лишь для нахождения наклонных и горизонтальных асимптот. Вертикальные асимптоты имеют уравнение х = а. Эта прямая является асимптотой, если в точке х = а график функции терпит бесконечный разрыв, т. к. точка х = а является точкой разрыва второго рода. Для уточнения поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы в этой окрестности.