- •Глава 7 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§ 2. Дифференциал функции одной переменной
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Правило Лопиталя (1661 – 1704)
- •§ 5. Исследование функции одной переменной
- •Решение практических задач по теме «Производная функции одной переменной»
- •Решение практических задач по теме «Дифференциал функции одной переменной»
- •Решение практических задач по теме «Исследование функции одной переменной»
- •Примеры для самостоятельного решения.
Глава 7 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
§ 1. Производная функции одной переменной
Определение 1. Производной функции у = f (x) называется величина, обозначаемая f ′(x) и равная пределу отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремиться к нулю, т. е.
Другие обозначения у ;
Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о касательной и нормали к кривой (геометрический смысл производной).
Пусть М0 – фиксированная точка данной непрерывной кривой К. Рассмотрим секущую М0М, проходящую через точку М0. Пусть точка М по кривой неограниченно приближается к точке М0, тогда секущая М0М стремится к некоторому предельному
положению М0Т, т. е. угол γ стремится к нулю при М стремящемся к М0. Тогда предельная прямая МТ называется касательной, проведенной к кривой К в точке М0.
Определение 2. Касательной к данной непрерывной кривой в данной точке М0 (точка касания) называется предельное положение секущей М0М, проходящей через точку М0, когда точка М неограниченно приближается по кривой к точке М0.
Постановка задачи. Зная уравнение линии у = f (x), найти уравнение касательной в данной точке М (х, у), предполагая, что касательная существует.
Пусть дана функция у = f (x). Пусть аргумент х0 получил некоторое
приращение ∆х. Тогда функция у получит приращение ∆у. Таким образом:
– при значении х0 будет иметь у = f (x0),
– при значении х0 + ∆х будет иметь у + ∆у = f (x0 + ∆x).
Выразим приращение функции ∆у = f (x0 + ∆x) – f (x0) и составим отношение
Найдем предел этого отношения при ∆х стремящемся к нулю. Если этот предел существует, то его называют согласно определению производной данной функции f (x) в точке х0 и обозначают f (x).
Возьмем на линии еще одну точку М (х0 + ∆х; у0 + ∆у). Проведем секущую ММ и прямые МN || Ох и МN || Оу. ∆ММ N – прямоугольный с катетами ∆х и ∆у. Из этого треугольника определяем угловой коэффициент секущей:
(1)
Пусть теперь М → М, тогда ∆х → 0 и ММ → МТ – касательной в точке М. При ∆х → 0 угол φ → α и если МТ не перпендикулярна к оси Ох, то в силу непрерывности тангенса получим
tg φ → tg α.
Отсюда, переходя к пределу при ∆х → 0 в (1), найдем угловой коэффициент k = tg α касательной МТ:
.
Таким образом, угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) равен значению ее производной в точке касания, т. е. k = f (x0). Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение:
Так как у – у0 = k (x – x0), y0 = f (x0), k = f (x0), то
y – y0 = f (x0) (x – x0).
Определение 3. Нормалью к кривой в точке М0 (х0, у0) называется перпендикуляр к касательной в той же точке.
Если k – угловой коэффициент касательной, а k1 – угловой коэффициент нормали, то , а т. к. k = f (x0) легко записать уравнение нормали
Если в точке х0 у0 = 0, то касательная параллельна оси Ох. Тогда нормаль перпендикулярна к оси Ох и проходит через точку М0 (х0, у0). Это означает, что ее уравнение: х = х0.
2. Задача о скорости прямолинейного неравномерного движения (механический смысл производной).
Пусть х – время, прошедшее от начала отсчета; у = f (x) – расстояние, которое прошло тело за время х от начала движения. Рассмотрим промежуток времени ∆х, прошедший от момента х до момента х + ∆х. За это время тело пройдет путь
∆у = f (x + ∆x) – f (x).
Отношение пройденного пути ∆у к промежутку времени ∆х называется средней скоростью движения тела за данный промежуток времени
.
Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше промежуток времени ∆х.
Тогда мгновенной скоростью движения тела в момент времени х будет предел средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка времени ∆х (если этот предел существует):
.
Полученное выражение представляет производную функции у по переменной х, т. е.
.
Таким образом, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени. Или, рассматривая функцию f (x) лишенную конкретного физического содержания, можно сказать, что производная функции y = f (x) в точке х есть скорость изменения функции в этой точке.
Рассмотрение задач о касательной и скорости движения исторически привело к понятию производной.
Итак, .
К подобному выражению приводят и многие другие задачи, что объясняет важность введения понятия производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Определение 4. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (а, b), то говорят, что она дифференцируема на этом отрезке или интервале.
Т е о р е м а 1. (о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции)
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.
Доказательство. Пусть y = f (x) дифференцируема в точке х, т. е.
.
Тогда определим
.
По определению непрерывности следует, что y = f (x) – непрерывна. Что и требовалось доказать.
Замечание: обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Например, . Эта функция непрерывна в точке х = 0, но не является дифференцируемой для этого значения, т. к. в точке х = 0 к графику функции не существует касательной.
Правило непосредственного вычисления производной функции
Для нахождения производной функции у = f (x) необходимо произвести следующие действия:
-
Дать аргументу х приращение ∆х, вычислить наращенное значение функции f (x + ∆x);
-
Найти соответствующее приращение функции
∆y = f (x + ∆x) – f (x);
-
Составить отношение
-
Найти предел данного отношения при ∆х → 0
;
Будем пользоваться этим правилом для нахождения основных формул дифференцирования и вычисления производных от основных элементарных функций.
Основные правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю, т. е. С = 0.
Доказательство. Пусть у = С = const, тогда ∆у = 0. Следовательно,
.
2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.
(U V) = U V .
Доказательство. Пусть у = U V. Зададим ∆х.
Новому значению х + ∆х аргумента соответствуют новые значения наших функций U + ∆U и V + ∆V. Тогда
∆y = ∆( U V) = [( U + ∆U) ( V + ∆V)] – ( U V) = ∆U ∆V,
Найдем
.
3. Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна
(U V) = V∙U + U∙V .
Доказательство. Пусть у = U V. Дадим х приращение ∆х.
Новому значению х + ∆х аргумента соответствуют новые значения функций U + ∆U, V + ∆V. Тогда функция U V получит приращение
∆y = ∆( U V) = [( U + ∆U) ( V + ∆V)] – U V =
= U V +V∆U + U ∆V+∆U∆V–UV = V∆U + U ∆V+∆U∆V.
По определению производной
При доказательстве формулы надо учесть, что функция U (x) дифференцируема, и, следовательно, непрерывна, т. е. .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е.
(С∙у) = С у.
Доказательство. (Су) = Су + Су = Су.
5. Производная отношения двух функций равна
Доказательство. . Составим ∆ у
и найдем
В доказательстве формулы снова было учтено, что из дифференцируемости функции V (x) следует ее непрерывность, т. е. .
6. Производная сложной функции. Пусть у = f (U), U = φ (x). Производная сложной функции f (φ (x)) равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.
где вместо U должно быть подставлено выражение U = φ (x). Коротко,
.
7. Производная обратной функции. Производные от взаимно обратных функций обратные по величине
или .
8. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функция у (х) задана параметрическими уравнениями
Дифференцируя у = ψ (t) по правилу дифференцирования сложной функции, получим
Производную найдем по правилу дифференцирования обратной функции
Окончательно , что можно короче записать так .
Производные основных элементарных функций
1. .
Найдем
Тогда
В частности
2. (xn) = n xn – 1.
Пусть Прологарифмируем обе части данного выражения
.
Продифференцируем обе части полученного равенства по отдельности, учитывая, что производная от ln y берется как от сложной функции:
3. (ax) = ax ln a.
Пусть Аналогично,
В частности:
4. (sin x) = cos x.
Найдем Тогда
5. (cos x) = – sin x.
Так как то
6. Воспользуемся формулой нахождения производной частного двух функций:
7. Аналогично,
8. . Пусть y = arcsin x. Тогда x = sin y и – по правилу нахождения производной обратной функции.
9. . Пусть y = arccos х, тогда x = cos y и
10. . Пусть y = arctg x, тогда x = tg y и
11. . Пусть y = arcctg x, тогда x = ctg y и
12. Логарифмическая производная.
а) Логарифмируя функцию и дифференцируя полученное равенство, получим . Тогда
13. (sh x) = ch x; – гиперболический синус.
.
14. (ch x) = sh x; – гиперболический косинус.
.
15. – гиперболический тангенс.
.
16. – гиперболический котангенс.
.