§ 2. Основные задачи на метод координат на плоскости

1. Расстояние между двумя точками. Пусть на плоскости Оху даны точки А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂). Расстояние d между точками А и В выражается через их координаты формулой

. (1)

2. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂). Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в следующем отношении .

Искомые координаты точки М находятся по следующим формулам:

– (2)

формулы деления отрезка в данном отношении.

В частности, если λ = 1, т. е. АМ = МВ, то они примут вид

– (3)

формулы вычисления координат середины отрезка.

§ 3. Полярные координаты

Кроме декартовой системы координат на плоскости часто используют полярную систему.

Полярная система координат задается: точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью.

Определение 7. Полярными координатами точки М на плоскости (не совпадающей с полюсом) называют полярный радиус ρ = ОМ точки М и полярный угол φ, то есть угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки до совпадения ее с вектором (φ > 0 поворот против часовой стрелки, φ < 0 – по часовой стрелке).

Пара (ρ, φ) – координаты точки М в полярной системе координат. Положение любой точки М на плоскости однозначно определяется координатами ρ и φ, причем

0  ρ < , 0  φ < 2π.

Если точка М совпадает с полюсом О, то ее полярный радиус ρ = 0, а угол φ можно выбрать любым.

Обобщенными полярными координатами точки М называют ее полярные координаты ρ и φ, такие что –  < ρ < , –  < φ < . Чтобы указать точку М (ρ, φ) в обобщенной полярной системе координат, надо построить луч, образующий с полярной осью ρ угол φ, затем отложить ρ единиц масштаба на нем, если ρ > 0, и на его продолжение, если ρ < 0.

Связь между декартовыми и полярными координатами.

а) если даны декартовы координаты х и у точки М, то ее полярные координаты определяются согласно формулам:

(4)

б) если даны полярные координаты (ρ, φ) точки М, то ее декартовы координаты определяются по формулам:

х = ρ cos φ y = ρ sin φ. (5)

§ 4. Параметрические уравнения

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений

(6)

где х и у – координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, а t – переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (6) – параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F (x; y) = 0, надо каким – либо способом из двух уравнений исключить параметр t.

Однако заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

§ 5. Прямоугольные координаты в пространстве

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется аналогично.

Возьмем три взаимно перпендикулярные числовые оси, пересекающиеся в точке О: Ох, Оу, Oz. Выберем на каждой из них положительное направление; противоположное направление будем считать отрицательным.

Точка О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Пусть М – некоторая точка пространства. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу, Oz и поставим ей в соответствие упорядоченную тройку чисел (х; у; z) по следующему правилу:

х – координата точки М по оси Ох (согласно определению 6);

у – координата точки М по оси Оу;

z – координата точки М по оси Оz.

Числа х, у и z называются прямоугольными координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у – ее ординатой, а z – аппликатой. Координаты точки записывают рядом с буквой, обозначающей точку: М (х; у; z), причем на первом месте пишется абсцисса, на втором – ордината и на третьем – аппликата. Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами. Таким образом, если в пространстве вводится прямоугольная декартова система координат Oxyz, то:

1) каждой точке пространства поставлена в соответствие единственная упорядоченная тройка чисел (ее прямоугольные координаты);

2) разным точкам пространства соответствуют разные упорядоченные тройки чисел;

3) каждой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) соответствует, и притом одна, точка пространства.