6. Вынужденные колебания.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы . Динамическое уравнение, характеризующее вынужденные колебания имеет вид:

или

,

где , и .

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного:

,

где первое слагаемое является решением уравнения для собственных затухающих колебаний, второе - частное решение неоднородного уравнения.

Если колебания затухающие, то с течением времени первое слагаемое будет стремиться к нулю, поэтому в дальнейшем колебания будут происходить с частотой вынужденной силы, но отстающей по фазе от последней на

.

При некотором соотношении между собственной частотой и частотой вынуждающей силы, амплитуда колебаний достигает максимума – это явление называется резонансом смещения.

Решение задач

10.17*. Найти разность фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота колебаний и коэффициент затухания .

Решение. Динамическое уравнение, характеризующее вынужденные колебания имеет вид:

, (1)

частным решением которого является

.

Законы изменения скорости и ускорения тела найдем, последовательным дифференцировав по времени уравнения (1)

,

.

Сумма слагаемых , и согласно уравнению (1) должна быть равна . Учитывая фазовые сдвиги между , и , представим уравнение (1) с помощью векторной диаграммы (рис. 79 для случая ). Из рисунка видно, что

,

откуда

.

Из диаграммы видно, что отставание смещения по фазе на от вынуждающей силы определяется как

.

При резонансе , поэтому

10.18*. Шарик массы m может совершать незатухающие колебания около точки x = 0 с собственной частотой . В момент t = 0, когда шарик находился в положении равновесия, к нему приложили вынуждающую силу , совпадающую по направлению с осью X. Найти закон вынужденных колебаний шарика x(t).

Решение. Общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний при

.

Поскольку смещение шарика из положения равновесия вызвано только вынуждающей силой, то согласно результату задачи 10.17

.

Направление вынуждающей силы совпадает с направлением оси X , поэтому, как видно из диаграммы к задаче 10.17, . Также из той диаграммы следует, что смещение, вызванное квазиупругой силой и вынуждающей силой отличаются по фазе на

.

Поэтому

.

10.19*. Под действием вынуждающей силы осциллятор совершает установившиеся колебания по закону . Найти работу вынуждающей силы за период.

Решение. При установившихся колебаниях работа вынуждающей силы за период T равна работе силы сопротивления с обратным знаком:

.

По определению

,

где r - коэффициент сопротивления, - сила сопротивления, - скорость. По условию , поэтому

,

откуда

.

Учитывая, что и , получим работу силы сопротивления

,

.

132