5. Затухающие колебания.

Уравнение движения затухающих колебаний имеет вид

,

где - квазиупругая сила, - сила сопротивления, пропорциональная скорости , r - коэффициент сопротивления (величина размерная).

После введения новых параметров - коэффициент затухания, - квадрат собственной частоты, уравнение движения примет вид

.

Решение этого дифференциального уравнения движения, при условии , имеет вид

,

где и - постоянные, определяемые начальными условиями и , - частота затухающих колебаний:

.

Решение задач

10.12*. Точка совершает затухающие колебания с частотой . Найти коэффициент затухания , если в начальный момент скорость точки равна нулю, а её смещение из положения равновесия в раз меньше амплитуды.

Решение. Точка совершает затухающие колебания по закону

.

В начальный момент времени t = 0 смещение точки из положения равновесия в раз меньше амплитуды, поэтому

.

Откуда

.

Закон изменения скорости найдем, продифференцировав по времени исходное уравнение

.

По условию при t = 0 , поэтому

,

.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , получим

,

откуда

.

10.13. Затухающие колебания точки происходят по закону . Найти амплитуду смещения и скорость точки в момент t = 0.

Решение. Амплитуда колебаний равна величине смещения при значениях синуса или косинуса, равных единице:

.

Откуда амплитуда смещения в момент t = 0 равна

.

Найдем закон изменения скорости, продифференцировав по времени исходное уравнение

.

При t = 0 скорость точки равна

.

В теории затухающих колебаний вводится ещё один параметр, характеризующий процесс затухания, логарифмический декремент затухания

,

где a(t) и a(t+T) - амплитуды смещения в моменты времени t и спустя период (t+T). Поэтому

.

10.14*. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на . С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении. Логарифмический декремент затухания .

Решение. Грузик совершает затухающие колебания по закону

.

По определению , поэтому

.

Период колебаний равен

,

где - собственная частота колебаний грузика. Проведя подстановку, получим

,

,

,

.

В положении равновесия (до толчка):

,

откуда

.

Искомый период колебаний груза равен

.

Ещё одной характеристикой затухания является добротность колебательной системы (осциллятора) Q, которая по определению равна

,

где N_e - число колебаний за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

10.15. Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в раз каждые n периодов колебаний.

Решение. По определению добротность осциллятора равна

.

Логарифмический декремент затухания по определению равен , поэтому для n периодов

.

После подстановки в исходное уравнении, получим

.

10.16*. Найти добротность математического маятника длины l, если за время его полная механическая энергия уменьшилась в раз.

Решение. Энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды:

.

Его добротность равна , где (логарифмический декремент) . Так как период математического маятника можно считать равным . Поэтому

.

По условию за время полная механическая энергия маятника уменьшилась в раз

,

,

,

.

После подстановки получим добротность математического маятника

.