4. Динамика незатухающих колебаний твёрдого тела.

Методика решения задач на колебания твёрдого тела (физический маятник) такая же, как и в случае материальной точки, только роль массы играет момент инерции тела, роль силы - момент силы, роль смещения x выполняет угол отклонения от положения равновесия, некоторой прямой, связанной с телом и проходящей через ось вращения. Динамическое уравнение в этом случае имеет вид:

или

,

где I - момент инерции тела относительно некоторой оси Z, M_z - момент сил относительно оси Z, действующих на тело, - угол отклонения от положения равновесия.

Решение задач

10.9. Однородный стержень длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний. Трения нет.

Решение. Выведем систему из состояния равновесия, тем самым зададим направление вращения (положительное направление отсчёта угла рис.76). Вращение стержня происходит вокруг оси Z, которая проходит через точку O и направлена перпендикулярно плоскости чертежа на «нас» (направление вращение и направление оси Z связаны правилом правого винта). Движение стержня проходит под действием силы тяжести , которая является возвращающей силой, и ее момент относительно оси Z равен

.

Запишем уравнение динамики вращательного движения стержня относительно оси Z

,

где - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его край (оси Z). Учитывая малость угла , получим

.

Приведем уравнение движения к виду уравнения гармонических колебаний

.

Поэтому

,

а искомый период колебаний

.

10.10. Найти круговую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы m и длины l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O (рис.77). Жёсткость пружины k, ее масса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален.

Решение. Ось Z направим так же, как и в предыдущей задаче, а ось горизонтально в направлении движения стержня. Движение стержня проходит под действием силы тяжести и силы упругости , где в силу малости угла (рис.77). Запишем уравнение динамики вращательного движения стержня относительно оси Z

,

где - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его край (оси Z). После подстановки получим

.

Приведем уравнение движения к виду уравнения гармонических колебаний

.

Сравнив полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний в дифференциальной форме , получим круговую частоту малых колебаний стержня

.

В случае незатухающих колебаний, механическая энергия системы сохраняется

,

где E - механическая энергия системы, П и K её потенциальная и кинетическая энергии соответственно. Вследствие этого, возможен энергетический подход к решению задач.

10.11*. Горизонтальный диск укреплён на конце тонкого стержня AO (рис.78). При повороте диска на угол вокруг оси AO на него действует момент упругих сил , где k - постоянная. Найти частоту и амплитуду малых крутильных колебаний диска, если в начальный момент его повернули на угол из положения равновесия и сообщили угловую скорость . Момент инерции диска относительно оси вращения равен I.

Решение. Запишем уравнения динамики вращательного движения

диска относительно оси AO:

,

где I - момент инерции диска. Приведем записанное уравнение движения к виду уравнения гармонических колебаний

.

Найдем искомую частоту

.

Начальная механическая энергия диска равна

.

Энергия при максимальном отклонении

.

Воспользовавшись законом сохранения энергии , получим

,

откуда

.