2. Энергия незатухающих колебаний (на примере пружинного маятника)

Кинетическая и потенциальная энергия в случае незатухающих колебаний соответственно равны

,

.

Полная механическая энергия равна сумме :

.

Учитывая, что ( - собственная частота колебаний), получим:

.

Полная механическая энергия незатухающих колебаний постоянная величина, равная энергии, которая сообщается системе, при выводе её из положения равновесия. Приведем три формы записи энергии незатухающих колебаний:

.

Форму записи применяют для произвольного момента времени; форму - для тех моментов, когда маятник находится в крайнем положении, в котором и ; форму - при прохождении маятника положения равновесия, в котором x = 0 и .

Поскольку полная механическая энергия незатухающих колебаний постоянная величина, то

.

Проведя дифференцирование, получим

,

, где ,

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде

.

3. Динамика незатухающих колебаний материальной точки

Динамическое уравнение гармонических незатухающих колебаний имеет вид:

, (I)

решением этого дифференциального уравнения, как было отмечено ранее, является

.

Для определения характера движения рассматриваемой системы нужно, исходя из закона динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения точки. Если полученное уравнение имеет вид (I), то точка совершает незатухающие гармонические колебания, частота которых равна корню квадратному из множителя при x.

Решение задач

10.5. Найти период малых поперечных колебаний шарика массы m, укреплённого на середине натянутой струны длины l. Силу натяжения струны считать постоянной и равной F. Массой струны и силами тяжести пренебречь.

Решение. Выберем ось X, как показано на рисунке 72. Выведем шарик из положения равновесия (x = 0) так, чтобы нить образовывала с горизонтом малый угол . Запишем уравнение движения шарика (второй закон Ньютона) в проекциях на ось X, учитывая, что для малых углов :

,

по условию . Уравнение движения примет вид

.

Из рисунка видно, что . Приведем уравнение движение шарика к уравнению гармонических колебаний в дифференциальном виде

.

Множитель при x равен :

,

откуда

.

Как видно из полученного результата, частота малых колебаний не зависит от амплитуды колебаний, а является лишь характеристикой системы.

10.6. Неподвижное тело, подвешенное на пружине, увеличивает её длину на . Считая массу пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела.

Решение. Рассмотрим три состояния системы (рис.73)

а) пружина не деформирована;

б) груз массы m находится в состоянии равновесии под действием силы тяжести и упругой силы ;

в) система выведена из положения равновесия за счёт дополнительного растяжения пружины на величину x.

Запишем для состояния в) системы уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на ось X:

.

В состоянии б) тело находится в положении равновесия, следовательно

,

откуда .

Подставив в уравнение движения, получим

,

.

Динамическое уравнение гармонических незатухающих колебаний имеет вид , поэтому

,

откуда период малых вертикальных колебаний тела равен

.

10.7. Вычислить период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m, площадь поперечного сечения трубки S, плотность жидкости . Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.

Решение. Рассмотрим два положения ареометра (рис.74). В первом положении ареометр находится в равновесии под действием сил тяжести mg и силы Архимеда , то есть . Во втором положении ареометр выведен из состояния равновесия, и уравнение его движения в проекциях на ось X имеет вид:

,

,

где - вес дополнительной жидкости, вытесненной ареометром, при выводе его из состояния равновесия. После подстановки получим

.

Приведем уравнение движения к виду уравнения гармонических незатухающих колебаний :

.

Поэтому

,

а искомый период колебаний равен

.

10.8. Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.75 а), если жёсткость пружинок k₁ и k₂, их массы пренебрежимо малы, трение отсутствует. В положении равновесия пружинки не деформированы.

Решение. На рис.75 б) показана система, выведенная из состояния равновесия. Направление оси X совпадает с направлением смещения тела. Запишем уравнение движения тела в проекциях на ось X

,

где и - силы упругости, действующие на тело со стороны пружин. Приведем уравнение движения к виду уравнения гармонических незатухающих колебаний

,

Поэтому

,

.