X. Механические колебания

1. Кинематика незатухающих колебаний

Уравнение, описывающее положение точки, совершающей гармонические колебания, имеет следующий вид:

,

где x - смещение точки из положения равновесия в момент t (в зависимости от характера движения это может быть либо линейная, либо угловая координата); A - амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение точки из положения равновесия; - фаза колебаний; - начальная фаза, которая характеризует положение точки в момент t = 0 (начало наблюдения); - круговая частота колебаний. Эта частота связана с периодом колебаний T соотношением .

Приведённое выше уравнение является решением дифференциального уравнения

,

которое будет обсуждаться ниже.

Решение задач

10.1. Точка совершает колебания вдоль оси X по закону . Найти зависимость от времени скорости и ускорения . Как связаны амплитуды скорости и ускорения с амплитудой смещения A.

Решение. Закон движения точки в общем виде известен

.

Законы изменения скорости и ускорения со временем найдем последовательным дифференцированием по времени исходного уравнения

, откуда ;

или , откуда .

10.2. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X около положения равновесия x = 0. В некоторый момент времени координата частицы x₀, а скорость . Найти координату x и скорость частицы через время t после этого момента.

Решение. Частица совершает гармонические колебания по закону

,

тогда

.

Пусть в начальный момент времени t = 0 координата частицы x₀, а ее скорость . Тогда

и ,

,

.

Откуда начальная фаза равна

.

В начальный момент времени (t = 0)

, поэтому ;

, поэтому .

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , запишем

.

Откуда амплитуда равна

.

Подставив найденные значения амплитуды и начальной фазы в исходные уравнения, получим

,

.

10.3. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом T и амплитудой A. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь A/2:

а) из крайнего положения;

б) из положения равновесия.

Решение. а) По определению средней скорости , где S - путь, пройденный за время t. В данном случае

,

где t₁ - время движения точки из крайнего положения, где смещение из положения равновесия равно A, до положения, где это смещение равно A/2. Пусть в момент времени t = 0 смещение максимально (крайнее положение). Это возможно, если смещение зависит от времени по закону , тогда:

,

,

поэтому

, а .

Подставив полученное значение в исходное уравнение, найдем среднюю скорость

.

б) В данном случае за t = 0 принимаем момент, когда точка проходит положение равновесия (x = 0), тогда и, следовательно

,

,

откуда

, а .

а искомая средняя скорость равна

.

Если тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, то решение многих задач упрощается, если сложение колебаний производить графически методом векторных диаграмм. Пусть точка совершает колебания по закону . Графически это колебание представляется как вектор длиной A, который равномерно вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью от начального углового положения (рис.70). В этом случае угол с осью X меняется по закону , а проекция вектора на ось X и будет равна координате .

10.4. Найти графически амплитуду A колебаний, которые возникают при сложении двух колебаний одного направления:

,

.

Решение. Оба вектора будут вращаться с одинаковой угловой скоростью . Следовательно, угол между векторами остается постоянным в любой момент времени. Воспользовавшись формулами приведения, представим второе колебание в виде:

.

Уравнение гармонического колебания имеет вид

.

Из сравнения уравнений колебаний с уравнением гармонического колебания, найдем начальные фазы первого и второго колебаний

и .

Теперь построим векторную диаграмму (рис.71). Согласно теореме косинусов получим

.

Из рисунка видно, что , тогда искомая амплитуда равна

,

.