2. Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона, справедливые в инерциальных системах отсчета, можно использовать и в неинерциальных системах, если наряду с силами, обусловленными взаимодействиями тел между собой, ввести силы инерции. Чаще всего рассматриваются два основных типа неинерциальных систем:

а) системы, движущиеся относительно какой-либо инерциальной системы (например, относительно Земли) поступательно, прямолинейно и ускоренно. В таких системах на тела действует сила инерции , где - ускорение неинерциальной системы отсчета,

б) системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью относительно какой-либо инерциальной системы. В таких системах на все тела и покоящиеся, и движущиеся действует центробежная сила инерции , где - радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение частицы относительно этой оси. На движущиеся в такой системе отсчета тела помимо центробежной силы инерции действует еще и сила Кориолиса, или кориолисова сила инерции, равная , где - скорость тела в неинерциальной системе отсчета.

Особенности сил инерции заключаются в том, что

1. они обусловлены не взаимодействием тел между собой, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета, и поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона,

2. они существуют только в неинерциальных системах отсчета и зависят от их типа,

3. они всегда пропорциональны массе тела.

Решение задач

3.11. В вагоне, движущемся с ускорением по горизонтальной плоскости, к штативу на нити подвешен шарик. Найти угол отклонения нити от вертикали.

Решение. Система отсчета, связанная с вагоном, является неинерциальной системой отсчета, поскольку она движется поступательно с ускорением относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. В этой неинерциальной системе отсчета шарик неподвижен, следовательно, сумма сил, действующих на него равна нулю. На шарик действуют сила натяжения нити , сила тяжести и сила инерции , направленная в сторону, противоположную ускорению вагона :

.

Выберем оси X и Y, как показано на рис.29 и запишем это уравнение в проекциях на них:

,

.

Решив совместно полученную систему уравнений, найдем угол отклонения нити от вертикали:

.

То есть угол отклонения нити не зависит от массы шарика и длины нити, и он тем больше, чем больше ускорение вагона.

3 .12*. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис.30), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него. Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен . Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет.

Решение. Направим ось X в направлении движения бруска А влево, а ось Y - перпендикулярно вниз. Покажем силы, действующие на тела 1 и 2 (рис.30). Тела 1 и 2 по условию должны покоится относительно движущегося бруска А, поэтому, если связать систему отсчета с этим бруском, то ускорения тел 1 и 2 в этой неинерциальной системе (НСО) должны быть равны нулю. В поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета на тела 1 и 2 будут действовать силы инерции и , где - ускорение, с которым движется брусок А (рис.30).

Поскольку тела связаны невесомой нитью, то модули сил натяжения равны между собой .

Запишем для каждого груза уравнение движения в НСО в проекциях на оси X и Y соответственно:

тело 1: , .

тело 2: , .

Учитывая, что - по условию, и исключив T из первого и последнего уравнений, получим выражение для ускорения бруска A

.

Из полученного выражения видно, что минимальное значение ускорения бруска соответствует максимальным значениям сил трения и , которые являются силами трения покоя и их максимальные значения соответственно равны и , откуда, подстановкой и , получим

,

после преобразования минимальное ускорение бруска А равно

.

3.13. Определить, в каком направлении и с какой скоростью относительно Земли должен двигаться поезд на северной широте , чтобы результирующая сил инерции, действующих в системе отсчета, связанной с Землей, была равна нулю.

Р ешение. Система отсчета, связанная с Землей является неинерциальной системой отсчета, поскольку Земля вращается вокруг своей оси. В неинерциальной вращающейся системе отсчета на движущиеся тела действуют центробежная сила инерции (связанная с вращением системы отсчета) и сила инерции Кориолиса (связанная с движением тела в неинерциальной системе отсчета). Первая направлена от оси вращения перпендикулярно к ней и равна по величине , где - угловая скорость вращения Земли, r - расстояние до оси вращения. Это расстояние (рис.31) равно , где R - радиус Земли. Вторая сила - сила Кориолиса - определяется выражением , и ее направление зависит от направления скорости тела относительно Земли . Для того, чтобы результирующая сил инерции была равна нулю, кориолисова сила инерции должна быть направлена противоположно центробежной силе инерции и равна ей по величине. Нетрудно убедиться, что в этом случае поезд должен двигаться с востока на запад (ориентация векторов , и на рис.31, значок показывает, что вектор скорости направлен на нас). Величина скорости определяется из условия равенства сил инерции по формуле:

.

Определим скорость движения поезда

.

Здесь угловая скорость вращения Земли , где часа - длительность суток.

3.14. Гладкий горизонтальный диск вращают относительно Земли, вращение которой не учитывается, с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой m и сообщили ей толчком горизонтальную скорость . Найдите величину силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета связанной с диском, через время t после начала ее движения.

Р ешение. Система отсчета, связанная с вращающимся диском является неинерциальной системой отсчета. В этой системе на движущуюся шайбу действует искомая сила Кориолиса, определяемая выражением:

,

ее направление зависит от направления скорости тела относительно диска . Из условия задачи известна скорость шайбы относительно Земли, которая, в условиях данной задачи, является инерциальной системой отсчета. Запишем связь между скоростями шайбы в этих системах отсчета:

.

Выразим из последнего выражения вектор и представим его направление на рис.32 (на рисунке представлен вид сверху, значок показывает направление угловой скорости диска). И, как видно из рисунка, угол между векторами и равен , а модуль вектора равен

.

Поскольку и угол между векторами и равен , найдем силу Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета связанной с диском, через время t после начала ее движения:

.

3.15. Гладкий стержень АВ вращают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню скользит муфта массы m, стартовавшая в точке А со скоростью (относительно стержня) . Найдите величину силы Кориолиса, действующую на муфту в момент, когда она оказалась на расстоянии от оси вращения.

Решение. Система отсчета, связанная с вращающимся в горизонтальной плоскости стержнем является неинерциальной системой отсчета. В неинерциальной вращающейся системе отсчета на движущиеся тела действуют центробежная сила инерции (связанная с вращением системы отсчета) и сила инерции Кориолиса (связанная с движением тела в неинерциальной системе отсчета). Так как движение муфты происходит в горизонтальной плоскости, то силы, действующие на муфту в вертикальном направлении, компенсируют друг друга и поэтому на рисунке не показаны. Сила Кориолиса - определяется выражением: , и имеет направление перпендикулярное направлению движения муфты по стержню (рис.33). Поэтому муфта вдоль стержня движется под действием одной силы - центробежной, направленной от оси вращения перпендикулярно к ней и равной по величине , где - угловая скорость вращения стержня, - расстояние от муфты до оси вращения. Запишем уравнение движения муфты:

.

Для удобства решения умножим и разделим левую часть уравнения движения на :

.

Учитывая, что по определению , разделим переменные в последнем уравнении:

.

Проинтегрировав левую часть этого выражения от до , а правую от 0 до

,

,

найдем скорость муфты в момент, когда она находится на расстоянии от оси вращения:

.

Поскольку (), сила Кориолиса, действующая на муфту в этой точке, будет равна:

.