3. Законы алгебры высказываний

Первые три закона сформулированы еще Аристотелем.

1. – закон тождества (мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует).

2. – закон противоречия (никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием).

3. – закон исключения третьего (для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание или истинно или ложно, третьего не дано).

4. – закон двойного отрицания.

5. – идемпотентность операции дизъюнкции.

6. – идемпотентность операции конъюнкции.

7. – коммутативность операции дизъюнкции.

8. – коммутативность операции конъюнкции.

9. – ассоциативность операции конъюнкции.

10. – ассоциативность операции дизъюнкции.

11. – дистрибутивность операции дизъюнкции относительно конъюнкции.

12. – дистрибутивность операции конъюнкции относительно дизъюнкции.

13. , – законы де Моргана для операций дизъюнкция и конъюнкция.

Тождества:

, , , .

4. Строение математической теоремы

Рассмотренные выше логические операции широко используются для формулировки различных утверждений, которые устанавливают свойства математических объектов.

Определение 3.7. Теорема – утверждение, истинность которого необходимо доказать.

Определение 3.8. Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства.

Всякая теорема (утверждение) формулируется в виде (из следует ; если , то ), а обратное к ней утверждение в виде (из следует ).

Если утверждение верно, а – нет, то – достаточное условие для , а – необходимое, но не достаточное условие для .

Пример 3.10. Делимость числа на 2 – необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 делимость на 2), а делимость числа на 12 – достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 6 делимость на 12).

Таким образом, необходимые условия – те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условие – те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

Если оба взаимно-обратных утверждения и истинны, т. е. высказывание истинно, то является одновременно необходимым и достаточным условием для , в свою очередь – также является необходимым и достаточным условием . Выражение «необходимо и достаточно» означает справедливость двух взаимно обратных утверждений и , его можно заменить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том случае».

Пример 3.11. Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником. Эта утверждение истинно. Обратное к ней – если параллелограмм является прямоугольником, то у него диагонали равны – также является истинным. Таким образом, условие «у параллелограмма диагонали равны» является необходимым и достаточным условием для «параллелограмм является прямоугольником». И наоборот. Сформулируем первоначальную теорему иначе. Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равными.

Определение 3.9. Утверждение называется противоположным к утверждению , где условие и заключение заменяются их отрицаниями и (не , не ).

Если верно прямое утверждение , то и верно утверждение, обратное к противоположному утверждению, т.е. .

Иногда для доказательства теорем используются метод от противного. Чтобы доказать утверждение (или равносильное ему ), предполагают противное, т.е. , и стремятся получить противоречие, например, . Если это удается, то делается вывод о неверности предположения , а значит истинности утверждения .

В основе математических доказательств лежат строгие логические рассуждения. Используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот – на основании частных случаев об общих рассуждениях.