2. Операции над высказываниями

Каждому логическому высказыванию поставим в соответствие численное значение: 1 – если высказывание истинно, 0 – если высказывание ложное. Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения 1 и 0, можно определить над ними операции, которые позволяют получать новые высказывания из данных. Эти операции будут выражать логические связи, употребляемые в обычной речи, например: не, и, или, если - то, тогда и только тогда и т.д.

Операции, производимые над высказываниями, называются логическими операциями. Совокупность логических операций получила название алгебры высказываний.

Определение 3.3. Отрицанием высказывания называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда p ложно. Отрицание обозначается или и читается «не ».

В естественном языке отрицание соответствует составлению из высказывания p нового высказывания «неверно, что », или «не ».

Соотношение между , можно определить, воспользовавшись диаграммой Эйлера-Венна (рис. 3.1).

Составим таблицу истинности операции отрицания.

Отрицание истинного высказывания является ложным высказыванием, отрицание ложного – истинное высказывание. Двойное отрицание обозначается .

Таблица 3.1

Таблица истинности

отрицания

0	1
1	0

Пример 3.5. Для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».

Определение 3.3. Конъюнкцией двух высказываний и называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний обозначается , или и читается « и ».

В естественном языке конъюнкция соответствует соединению высказываний союзом «и».

Составим таблицу истинности операции конъюнкции. Множество истинности для конъюнкции между и можно определить., воспользовавшись диаграммой Эйлера – Венна (рис. 3.2). Для этого определим: – множество истинности для высказывания , Q - множество истинности для высказывания . Множество истинности для высказывания является множество . Оно представлено на диаграмме закрашенной областью.

Таблица 3.2

Таблица истинности

конъюнкции

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пример 3.6. Для высказываний «8 делится на 2», «8 делится на 4» их конъюнкцией будет высказывание «8 делится на 2 и 4», которое, очевидно, будет истинным.

Определение 3.4. Дизъюнкцией двух высказываний и называется высказывание ложное тогда и только тогда, когда ложны оба эти высказывания. Дизъюнкция высказываний и обозначается или и читается « или » (в неразделительном смысле).

В естественном языке дизъюнкция соответствует соединению высказываний союзом «или» в неразделительном смысле.

Составим таблицу истинности операции дизъюнкции. Множество истинности для дизъюнкции между и можно определить, воспользовавшись диаграммой Эйлера – Венна (аналогично конъюнкции) (рис. 3.3).

Таблица 3.3

Таблица истинности

дизъюнкции

1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

– множество истинности для высказывания (на диаграмме – закрашенная область).

Пример 3.7. Высказывание «В треугольнике угол или – острый» истинно, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний. «В треугольнике угол острый», «В треугольнике угол острый».

Определение 3.5. Импликацией двух высказываний и называется высказывание ложное тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.

Импликация высказываний обозначается , или и читается: « влечет », или «если , то », или «из следует », или « является достаточным для », или « является необходимым условием для ».

Высказывание называется посылкой импликации, а – заключением.

Термин «импликация» происходит от латинского implicate – тесно связываю.

Составим таблицу для операции импликация.

Таблица 3.4

Таблица истинности импликации

1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Пример 3.8. Сравним такие предложения: «Если число делится на 4, то оно делится на 2»; «Если Сидоров увлечен математикой, то Смирнов ничем, кроме футбола, не интересуется». Очевидно, что смысл союза «если... то...» в этих предложениях не один и тот же. В первом случае он соответствует импликации. Второе предложение не является высказыванием.

Пример 3.9. Предположим, вы работаете в юридической консультации, к вам приходит глава разорившейся фирмы (но некогда процветавшей). Фирма производила какую-то продукцию. Глава фирмы издал распоряжение следующего содержания: «Если будет улучшено качество продукции, то все получат премию», а сам улетел отдыхать на Канарские острова на месяц. По возвращении выясняется, что повышения качества не было, но управляющий премию выплатил, т.к. деньги были. Вскоре фирма разорилась (деньги предназначены были для закупки сырья материалов). Глава фирмы теперь собирается через суд взыскать большую сумму денег для компенсации потерь с управляющего, который, по мнению хозяина, исказил его распоряжение.

Эта ситуация соответствует третьей строке таблицы истинности импликации. Повышения качества продукции не было (), а премия была вы плачена (). По логическому значению импликации управляющий поступил правильно. Впрочем, если бы он не выдал премию, то также не нарушил бы правило импликации.

Определение импликации вынуждает считать истинными высказываниями такие предложения, как «Если 2+2=5, то Москва – столица России» или «Если 2-2=3, то существуют летающие зайцы». Эти предложения, вероятно, кажутся бессмысленными. Дело в том, что мы привыкли соединять союзом «если... то» (также как и другими союзами) предложения, связанные по смыслу. Но определениями логических операций смысл составляющих высказываний никак не учитывается; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными либо ложными. Поэтому не следует смущаться «бессмысленностью» некоторых составных высказываний. Их смысл не входит в предмет нашего рассмотрения.

Определение 3.6. Эквивалентностью двух высказываний и называется высказывание истинное тогда и только тогда, когда истинности и совпадают.

Эквивалентность обозначается или и читается « эквивалентно », или « тогда и только тогда, когда », или « является необходимым и достаточным для ».

Составим таблицу для операции эквивалентность.

Таблица 3.5

Таблица истинности эквивалентности

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пример 3.9. Высказывание «Треугольник с вершиной и основанием равнобедренный тогда и только тогда, когда » является истинной, так как высказывания «Треугольник с вершиной и основанием равнобедренный» и «В треугольнике с вершиной и основанием » либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах.

Логические связки позволяют из простых высказываний получить новые, сколь угодно сложные высказывания. Рассмотрим пример: «Если завтра будет дождь или снег, то я возьму зонт и надену пальто или свитер». Введем обозначения: = «Завтра будет дождь»; = «Завтра будет снег»; = «Я возьму зонт»; = «Я надену пальто»; = «Я надену свитер». Тогда наше предложение можно записать в виде:

.

Рассмотренная процедура называется формализацией. При переводе на язык логики первоначальный смысл предложений не воспроизводится, а, напротив, почти полностью игнорируется; зато их структура сохраняется и становится явной, четко и однозначно выраженной.