Контрольные вопросы

1. Запишите ассоциативный, дистрибутивный и коммутативный законы операций над множествами. 2. Свойства идемпотентности операций объединения и пересечения. 3. Законы де Моргана. 4. Какие числа называются натуральными? 5. Позиционная и непозиционная система счисления. 6. Какие числа называются целыми? 7. Рациональные числа. 8. Какие числа называются иррациональными? 9. Алгебраические числа и трансцендентные. 10. Действительные числа. 11. Комплексные числа.

Лекция №3 элементы математической логики

План

1. Основные понятия

2. Операции над высказываниями

3. Законы алгебры высказываний

4. Строение математической теоремы

1. Основные понятия

Математическая логика – современный вид формальной логики, изучающей правила выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Математическая логика возникла в середине XIX в для потребностей математики и стала применяться в самых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной деятельности.

Появление математической логики математики связывают с Джорджем Булем (1815-1864), с его работами «Математический анализ логики» (1847), «Логическое исчисление» (1848) и «Законы мысли» (1854). В этих работах было показано, что законы формальной логики, представленные в виде кодов еще Аристотелем, сами могут быть предметом исчисления. Это были первые работы, объединяющие логику и математику. В 40-50-х гг. ХX века математическая логика получила особенное значение в связи с развитием вычислительной техники.

Математическая логика исследует законы логических процессов, применяя математические методы.

Основным понятием математической логики является понятие высказывания (высказывания будем обозначать латинскими буквами: ).

Определение 3.1. Высказыванием называется повествовательное предложение естественного языка, о котором имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Пример 3.1. «Москва – столица России» – истинное высказывание.

2х5=43 – ложное высказывание.

5>10 – ложное высказывание.

Какая сегодня погода? – не является высказыванием, т.к. здесь ничего не утверждается.

Пример 3.2. . При – высказывание истинное, при – ложное.

Пример 3.3. «Река впадает в Каспийское море». Если в таком предложении вместо вписать название конкретной реки, то получим высказывание, которое будет ложно или истинно. Высказывание «Река Волга впадает в Каспийское море» является истинным.

Такого рода высказывания, когда в зависимости от неизвестного параметра оно может быть или истинным или ложным также называют предикатами. Предикаты обозначаются прописными буквами латинского алфавита: , и т.п.

Определение 3.2. Функция , определенная на некотором множестве X и принимающая одно из двух значений: истина или ложь называется n – мерным предикатом.

Рассматриваемые высказывания – нуль мерные предикаты. Поэтому логика предикатов, как частный случай, включает в себя логику высказываний.

Множество истинности неопределенных высказываний (предикатов) будем обозначать прописными буквами: .

Пример 3.4. Для следующего неопределенного высказывания : найдем множество истинности. Решив неравенство, получим: .

Имеются неопределенные высказывания и . Оба они определены на одном и том же множестве. Они являются равносильными, если множество истинности первого высказывания совпадает со множеством истинности второго , т.е. .

Пример 3.5. Равносильными будут следующие предикаты: и .