2. Числовые множества

Известные нам числа 1, 2, 3... называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества однородных по некоторому признаку предметов, например: один юрист, два юриста, три юриста и т.д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов. Например, если всех студентов в группе выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый студент, второй студент и т.д. Поэтому различают количественные числа – один, два, три, четыре..., и порядковые числа — первый, второй, третий...

Первым способом записи чисел были зарубки на палке. Хорошо, если число небольшое – десятки или, в крайнем случае, сотни. А если тысячи? Примерно пять тысяч лет назад почти одновременно в разных странах – Вавилоне, Египте, на Древнем Востоке – родился новый способ записи чисел. Числа стали записывать непросто зарубками-единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа стало теперь гораздо легче. Например, народ майя, проживавший в Центральной Америке, считал двадцатками – у них была двадцатеричная система счета (смешанная). В Китае использовалась пятеричная система счисления. Индийцы ввели десятичную систему. Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе –"индийским счетом".

Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места:

Пример 1.3.

В пятеричной системе используются 5 цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Вот как запишется в этой системе счисления число :

Пример 1.4.

В двоичной системе существует две цифры: 0, 1. Таким образом, можно в принципе использовать различные позиционные системы счисления: двоичную, троичную, четверичную и т. п.

Существуют и непозиционные системы счисления, например, римская. В этой системе цифры I, V, X, L, C, D, M всегда обозначают 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно, вне зависимости от позиции цифры в записи числа. Не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. Если за цифрой с меньшим значением следует цифра с большим значением, то ее вклад является отрицательным.

Таблица I

Соответствия между римскими числами и числами, записанные в десятичной системе счисления

1	2	3	4	5
I	II	II	IV	V
6	7	8	9	10
VI	VII	VIII	IX	X
11	13	18	19	21
XI	XIII	XVIII	XIX	XXI
34	39	40	60	99
XXXIV	XXXIX	XL	LX	XCIX
200	437	649	999	1208
CC	CDXXXVII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVIII

Основной недостаток такой системы счисления – неудобно их складывать. Другие непозиционной системы счисления – аттическая система счисления (применялась в древней Греции до III века до н.э.), греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая (система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные символы, такие как ς (стигма), Ϙ (копа) и Ϡ (сампи)).

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные.

Определение 1.4. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице.

Пример 1.5. , .

Определение 1.5. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым.

Пример 1.6. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики. Широко используется, к примеру, криптография, позволяющая, обмениваться зашифрованными сообщениями с помощью общедоступной сети Интернет, основываясь на свойствах простых чисел.

При умножении или сложении двух натуральных чисел получится обязательно натуральное число. Однако при вычитании натуральных чисел может получиться отрицательное число.

Пример 1.7. 2 – 4 = -2

Определение 1.4. Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами.

Множество всех натуральных чисел обозначается символом , множество всех целых чисел – символом .

Однако в случае операции деления возникает потребность расширения целых чисел. Например, пять милиционеров нельзя разделить на три равные части – такого количества милиционеров 5/3 не существует. Аналогичный смысл имеет обозначение , где и – любые натуральные или даже целые числа (b  0). Числа вида называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом . Множество рациональных чисел замкнуто относительно операция сложения, умножения, вычитания и деления.

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 10² = 100, 10³ = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например:

Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример 1.8. Превратим в обыкновенные дроби числа = 0,777... и = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10 = 7,777... = 7 + , откуда 9 = 7 и = .

2) 10 = 9,999...10 = 9 + , откуда 9 = 9 и = 1.

Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т.п.

Определение 1.5. Числа, которые можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, называются рациональными.

Число не является рациональным, т. е. представляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической.

Определение 1.6. Числа называются иррациональным, если их можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Определение 1.7. Число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения й степени с целыми коэффициентами:

Число не является рациональным, но оно алгебраическое, поскольку удовлетворяет уравнению .

Определение 1.8. Числа, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.

Число .

Лейбниц доказал, что:

Другое очень известное в математике число – так называемое число е – также может быть представлено в виде ряда:

Заметим, что числа и являются иррациональными.

Определение 1.9. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется вещественными или действительными числами.

Существуют также числа вида:

где и – действительные числа, . Такие числа называются комплексными. В поле комплексных можно извлекать корень квадратный из -1 в отличие от поля действительных чисел.

Примеры числовых множеств:

1) – множество натуральных чисел, 2) – множество целых чисел, 3) – множество рациональных чисел, 4) – множество иррациональных чисел, 5) трансцендентные числа, 6) – множество действительных чисел, 7) – множество комплексных чисел.

Между числовыми множествами существует следующая связь: