3. Интервальная оценка генеральной средней

Таким образом, при извлечении из генеральной совокупности с параметрами и выборки большого объема выборочная средняя подчиняется нормальному закону .

Очевидно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки и называется предельной ошибкой. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка ^* удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Определение 11.1. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Принцип практической уверенности «Если какое-нибудь событие имеет малую вероятность (например, меньше 0,01), то при единичном испытании можно практически считать, что это событие не произойдет, а если событие имеет вероятность близкую к единице (например, больше 0,99), то практически при единичном испытании можно считать, что это событие произойдет наверняка.

Определение 11.2. Уровень значимости – это максимальная вероятность ошибки, которой можно пренебречь в данной задаче. Уровень значимости связан с надежностью следующим соотношением:

(11.4)

Пусть вероятность того, что равна . Поскольку выборочное распределение средних подчиняется нормальному закону, то вероятность того, что выборочная средняя по абсолютной величине не превысит значения будет равна

Заменив на , получим:

(11.5)

где . Отсюда предельная ошибка будет равна:

(11.6)

Доверительный интервал для генеральной средней:

(11.7)

Отметим, что число определяется из равенства , или ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

При извлечении из генеральной совокупности выборок равного объема увеличение уровня надежности приводит к увеличению доверительного интервала. Для 100%-го уровня надежности доверительный интервал – . Для получения по возможности узкого интервала при сохранении высокого уровня надежности необходимо увеличить объем выборки. Интуитивно понятно, что чем больше информации, тем меньше неопределенность и больше точность.

При больших выборках, когда , если неизвестно, то его можно заменить выборочным среднеквадратическим отклонением. Однако при выборочное распределение средних при такой замене будет описываться распределением Стьюдента (см. рис. 11.1). В этом случае предельная ошибка рассчитывается по формуле:

(11.8)

Здесь – исправленная дисперсия, – критерий Стьюдента, который определяется по специальным таблицам с помощью двух чисел: уровнем значимости и числом степеней свободы ( – число зависимых переменных).

Пример 11.1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным параметром . Сделана случайная выборка объёма . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания по выборочным средним , если задана надёжность оценки .

Решение:

Найдём . Из отношения получим . По таблице находим . Предельная ошибка равна:

. Доверительный интервал: .

Таким образом, .

Это означает, что с вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что доверительный интервал накроет параметр , или с вероятностью 95% быть уверенным в том, что вычисленное по выборке среднее даёт значение параметра с точностью 0,98.