2. Биномиальное распределение

Ранее в лекции №7 мы рассмотрели формулу Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность того, что интересующее нас событие при испытаниях произойдет ровно раз. При этом предполагалось, что вероятность однократного появления данного события не меняется от опыта к опыту.

Используя формулу Бернулли, можно задать случайную величину – число появления данного события при испытаниях.

Пусть вероятность однократного появления события рана , следовательно, вероятность неудачи . Число испытаний . Рассчитаем вероятности появления данного события , , , , , и составим таблицу:

	0	1	2	3	4	5
	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

П остроим многоугольник распределения данной случайной величины (рис. 9.1).

Распределение величины называется биномиальным распределением с параметрами и . Известно, что если случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение вычисляются по следующим формулам:

3. Нормальное распределение

Множество явлений и процессов, которые происходят в мире можно описать с помощью так называемого нормального распределения. Например, распределение высоты деревьев, массы людей, числа преступлений и т.д.

Рассмотрим биномиальное распределение, которое описывается с помощью формулы Бернулли:

Рис. 9.2. Биномиальное распределение с , увеличивающимся числом испытаний .

Пусть , а число испытаний равно (рис. 9.2).

Из рисунка видно, что происходит изменение формы кривой, огибающей верхние концы ординат, в зависимости от числа испытаний. При достаточно большом эта кривая с определенной степенью точности приближается к кривой, называемой плотностью нормального распределения. График ее – колоколообразная кривая.

Таким образом, нормально распределенная случайная величина есть непрерывная случайная величина и график ее плотности является пределом дискретного биномиального распределения случайной величины, когда число испытаний неограниченно возрастает.

Нормальное распределение проявляется не только как предел биномиального распределения. Законы распределения многих случайных величин, наблюдаемых в природе и общественной жизни, при выполнении определенных условий приближаются именно к нормальному закону распределения.

Нормальная случайная величина имеет плотность распределения, определяемую формулой:

(9.16)

где переменная принимает значения в интервале , – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение.

Свойства функции :

1) Нормальная кривая распределения расположена выше оси абсцисс.

2) При неограниченном возрастании по абсолютной величине стремится к нулю, значит, ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения.

3) Максимальное значение функция принимает в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины . При этом .

4) Кривая симметрична относительно прямой .

5) Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно прямой :

и (9.17)

Изменение параметра при неизменном приводит к перемещению оси симметрии () вдоль оси абсцисс и, следовательно, – к соответствующему перемещению кривой распределения. Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более островершинной (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличением кривая распределения менее островершинна и более растянута вдоль оси абсцисс.

Одновременное изменение параметров и приведет к изменению и формы, и положения кривой нормального распределения. Нормальное распределение будем обозначать следующим образом: . На рис. 9.3 изображено нормальное распределение.

Нормальный закон распределения с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается :

(9.18)

Значения функции рассчитаны для всех аргументов и сведены в таблицу, которую можно найти в различных справочниках и учебниках по теории вероятностей и математической статистики.

Свойства функции:

1. функция четная;

2. с увеличением аргумента по абсолютной величине, монотонно убывает и при имеет прелом нуль;

3. при , при , поэтому при можно считать, что . В связи с этим таблицы ограничены значениями функции для аргументов или .

4. Максимальное значение функции принимает при и равно .

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную нормально распределенную случайную величину.

Сравнивая формулы (9.16) и (9.18), можно сделать вывод, что плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать так:

(9.19)

Математическое преобразование случайной величины в , распределенную по стандартному нормальному закону достигается вычитанием из , а затем делением результата на :

(9.20)

Определение 9.6. Функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

(9.21)

(9.22)

– функция Лапласа (рис.9.4). Эта функция табулирована.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал равна:

(9.23)

(интегральная формула Муавра-Лапласа),

где ;

; (9.24)

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

(9.25)

где .

Иногда в таблицах приводится функции Лапласа следующего вида:

(9.26)

Тогда для нахождения вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал необходимо воспользоваться формулой:

(9.27)