2. Функция распределения дискретной случайной величины

При анализе различных социальных процессов определенный смысл имеют накопительные (кумулятивные) вероятности случайных величин. Например, нас может интересовать вероятность того, что число проданных единиц некоторого товара окажется не меньше некоторого определенного числа, гарантирующего прибыль продавцу. Или, например, число дорожно-транспортных происшествий не окажется выше определенного значения. Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно составить функция накопленных вероятностей .

Определение 8.5. Функция распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее :

(8.3)

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулями и единицей:

(8.4)

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при :

(8.5)

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности равна единице, т.е.:

; (8.6)

4. Функция – неубывающая.

5. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

(8.7)

6. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому справедливы следующие равенства:

Из этого свойства вытекает, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события. Другими словами, появление любого отдельного значения случайной величины является возможным событием, несмотря на то, что вероятность его появления равна нулю. Данное свойство отражает, по сути, тот факт, что число возможных значений данной случайной величины бесконечно.

Зная ряд распределения, можно построить функцию распределения случайной величины:

при ;

при ;

при;

при… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...

при

.

Для дискретной случайной величины график представляет собой разрывную ступенчатую линию. По мере возрастания числа возможных значений случайной величины с одновременным уменьшением величины интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше, вследствие чего ступенчатая кривая становится более плавной. Если случайная величина непрерывная, функция распределения – непрерывная функция.

Пример 8.5. Построим функцию распределения случайной величины – число стандартных деталей среди четырех отобранных, рассмотренной в примере 9.3.

Решение:

Случайная величина не принимает значений меньших 1. Следовательно, если , то событие – невозможно, а вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины для всех значений также равна нулю.

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , функция означает вероятность события . Но случайная величина принимает значение, меньшее 2, лишь в одном случае: значение 1 с вероятностью 1/14.

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , . Пусть, например, . Тогда выражает вероятность события . Это возможно в двух случаях: или случайная величина принимает значение1 (с вероятностью 1/14), или значение 2 (с вероятностью 6/14).

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , .

Для всех , удовлетворяющих неравенству , . Таким образом, функция распределения случайной величины имеет следующий вид:

Н а рис. 8.2. приведен график данной функции.