Лекция №7 основные теоремы теории вероятностей

План

1. Сложение и умножение вероятностей

2. Формула полной вероятности

3. Повторные независимые испытания

1. Сложение и умножение вероятностей

Определение 7.1. Суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Определение 7.2. Суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении только одного из них.

Теорема 7.1. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий:

(7.1)

Эта теорема распространяется и на конечное количество событий и на бесконечное:

(7.2)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

(7.3)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(7.4)

Пример 7.1. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет либо число «1», либо «6».

Решение:

Пусть событие состоит в том, что выпадет число «1», событие – в том, что выпадет число «6». Используя, классическое определение вероятности, найдем вероятности наступления события и .

; . Из определения суммы двух несовместных событий:

.

Рис. 7.1. а) несовместные события; b) совместные события.

Теорема 7.2. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(7.5)

Рисунок 7.1 поясняет на основании теоретико-множественных представлений теоремы 7.1 и 7.2. Рассмотрим сначала случай несовместных событий (рис. 7.1.а). Пусть появлению события благоприятствует элементарных исходов, а событию – . Всего в пространстве событий элементарных исходов. Найдем вероятность суммы двух событий и , использую формулу классической вероятности:

Рассмотрим теперь случай совместных событий (рис. 7.1.б). Из рисунка видно, что множества и пересекаются. Общая область соответствует элементарным исходам, при которых появляются оба события и . Пусть данная область содержит элементарных события. Тогда вероятность двух совместных событий будет равна:

Определение 7.3. Произведением двух событий и называется событие, состоящее в одновременном появлении и события и события .

Определение 7.4. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 7.5. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любые из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 7.6. Вероятность наступления события , вычисленная при условии наступления другого события , называется условной вероятностью события по отношению к событию . Записывается это либо , либо .

Теорема 7.3. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, найденную из предположения о том, что первое событие уже произошло:

(7.6)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(7.7)

Вероятность, как мера неопределенности зависит от информации. Рассмотрим следующий пример. Предположим, что мы подбросили игральный кубик. Событие — выпало число «4». Вероятность такого события равна . Предположим, что мы не знаем, какое именно число выпало при подбрасывании, но знаем, что оно четное (событие ). Информация о событии уменьшает наше пространство событий, и поэтому меняет вероятность появления события . Полная группа событий для первоначального события представляет собой набор натуральных чисел от 1 до 6 включительно. Появление информации о том, что выпавшее число – четное (событие ), уменьшило пространство событий в два раза (числа 2, 4, 6). Поэтому вероятность появления числа «4» при условии, что выпавшее число – четное, возрастает от 1/6 до 1/3.

На основании теоремы 7.3 можем записать:

Теорема 7.4. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(7.8)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(7.9)

Пример 7.2. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором 0,9. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что попадание произошло при первом выстреле, событие – при втором. При этом =0,7, а =0,9. События и являются совместными и независимыми, следовательно:

Пример 7.3. Из урны, в которой находятся 7 белых и 3 черных шара вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Решение:

События и состоят соответственно вытащить из урны черный шар в первый и во второй. Данные события совместные и зависимые. Извлеченный шар обратно не возвращается. Тогда ; , поскольку после того как из урны извлекли первый черный шар, то в ней осталось всего 9 шаров, из которых только 2 окрашены в черный цвет.

Таким образом: