3. Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. они в ряде случаев позволяют подсчитать количество всевозможных и количество благоприятных исходов.

Правило умножения в комбинаторике. Если первое действие можно осуществить различными способами, а второе – , то оба действия можно осуществить различными способами.

Это правило обобщается и на большее число действий. Например, если первое действие можно осуществить различными способами, второе – , а третье , то все три действия можно осуществить различными способами.

Определение 6.4. Факториалом целого положительного числа (обозначается ) называется произведение первых чисел натурального ряда, т.е.:

(6.2)

Пусть имеется некоторое множество из элементов . Из этого множества можно образовать разные выборки, каждая из которых содержит элементов .

Упорядоченные выборки называются размещениями.

Определение 6.5. Если комбинации из элементов по отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называются размещениями из элементов по . Число размещений из элементов по равно:

(6.3)

или:

(6.4)

Пример 6.9. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Решение:

Это есть число размещений:

Определение 6.6. Если комбинации из элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из элементов. Число перестановок из элементов:

(6.5)

Пример 6.10. Сколькими способами можно разместить 5 человек за столом, на котором поставлено 5 приборов?

Решение:

Это есть количество перестановок:

Определение 6.7. Если комбинации из элементов по отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из элементов по . Число сочетаний из элементов по :

(6.6)

Пример 6.11. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Сколько матчей должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя командами должен быть сыгран только один матч?

Решение:

Каждый матч играется между двумя командами из 6 и отличаются только составом пар команд, т.е. представляют сочетание из 6 элементов по 2. Таким образом, находим:

Пример 6.12. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, что выбраны два мальчика? Выбор считать случайным.

Решение:

Событие состоит в том, что в члены делегации выбрали двоих мальчиков. Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, т.е.:

Число исходов, благоприятствующих наступления события равно:

Число всех возможных исходов :

Определение 6.8. Если выбирать элементов из , возвращая каждый выбранный элемент обратно, то такая выборка называется размещением из по с повторениями.

При этом и могут находиться в любом соотношении:

и

Общее количество выборок с возвращением равно:

(6.7)

Пример 6.13. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 ,3, 4, 5?

Решение:

Воспользуемся формулой (6.7). В данной задаче = 5, = 3.

.