Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие непрерывной функции в данной точке. 2. Сформулируйте понятие точки разрыва функции. 3. В чем принципиальное различие между точками разрыва первого и второго рода? 4. Сформулируйте понятие производной функции одной переменной. 5. Какая функция называется дифференцируемой в данной точке? 6. В чем состоит геометрический смысл производной? 7. Запишите правило дифференцирования суммы функций. 8. Запишите правило дифференцирования частного функций. 9. Запишите правило нахождения производной от произведения функций. 10. Сформулируйте правило дифференцирования сложных функций. 11. Сформулируйте понятие дифференциала функции одной переменной. 12. Возрастающая и убывающая функции. 13. Сформулируйте понятие точек максимумов и минимумов функции. 14. Запишите необходимый и достаточный признаки существования точек экстремумов функции.

Лекция №6 случайные события

План

1. Основные понятия.

2. Классическое определение вероятности событий.

3. Комбинаторика

4. Статистическая вероятность.

1. Основные понятия

Окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер. Мы встречаемся с ними, наблюдая состояние атмосферы, физические эксперименты, производственные процессы и т.п. Результаты многих наблюдений нельзя предсказать однозначно. Например, прогноз погоды на следующий день, курс доллара, количество дорожно-транспортных происшествий. Допустим, что, исходя из каких-то соображений, мы прогнозируем на завтра 11 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города. Это событие может либо произойти, либо нет. Дело в том, что ситуация на дорогах зависит от большого количества факторов и учесть влияние каждого из них заранее невозможно (погода, видимость, направление и сила ветра, самочувствие водителей и пешеходов, количество и расположение транспорта на трассе и т.д.) Поэтому не исключено, что число происшествий окажется не 11, а, например, 10, 8, или 15. Рассмотренные события называются случайными. Раздел математики, изучающий случайные события называется теория вероятностей.

Время становления фундаментальных основ теории вероятностей относится к XVII веку. Вклад в формирование теории вероятностей внесли такие математики как Б. Паскаль (1623-1662), П. де Ферма (1601-1665), Галилей (1564-1642), Я. Бернулли (1654-1705) и др. В XIX веке теория вероятностей оформилась в стройную математическую теорию в связи с работами выдающихся русских ученых, таких как П. Л. Чебышев (1821-1894), А. А. Марков (1856-1922) и А. М. Ляпунов (1857-1918).

Основным понятием в теории вероятностей является случайное событие.

Определение 6.1. Случайным событием называется любой факт, который в условиях испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием в этом определении подразумевается выполнение определенного комплекса условий. Далее вместо «случайного события» для краткости будем употреблять «событие».

События обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, ….

Пример 6.1. Появление герба при подбрасывании монеты, выпадение осадков более 1000 мм в данном географическом пункте за определенный год – являются событиями.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Пример 6.2. Несовместные события: выпадения цифры «5» при бросании игрального кубика исключает выпадение других цифр.

Пример 6.3. Совместные события: два стрелка стреляя по мишени, могут одновременно попасть по ней.

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным , если в результате испытания оно не может произойти.

Пример 6.4. Извлечение белого шара из урны с белыми шарами – событие достоверное, а извлечение черного шара из той же урны – событие невозможное.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример 6.5. Оценки «5», «4», «3», «2» – есть события единственно возможные по результатам курсового экзамена при наличии студента.

События называются равновозможными, если в результате испытаний по условиям симметрии ни одно из этих испытаний не является объективно более возможным.

Пример 6.6. Извлечение из полной колоды игральных карт дамы или короля – являются равновозможными.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытаний. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными.