2. Понятие производной

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке (кратко – приращением аргумента) и обозначается символом .

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке : . Приращение функции в точке кратко обозначается . На рис. 5.3 показаны величины и .

Таким образом, можно записать:

(5.7)

(5.8)

или:

(5.9)

(5.10)

Подставляя в формулу (5.8) выражение (5.9), получим:

(5.11)

Составим отношение:

(5.12)

Определение 5.5. Производной функции называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

(5.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках .

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения: , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.

Пример 5.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Для того чтобы функция в точке имела производную , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как правостороннюю , так и левостороннюю производные и чтобы эти производные были равны между собой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(5.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , т.е.:

(5.15)

3. Таблица основных формул дифференцирования

Не обязательно находить производную, используя определение. Иногда этот процесс бывает слишком трудоёмким, а иногда практически неосуществимым.

При помощи основных формул и правил дифференцирования можно найти производную практически любой функции, которую можно представить как комбинация элементарных функций и действий над ними.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. .

4. Правила дифференцирования

1. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

(5.16)

Пример 5.4. Найти производную функции

2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

(5.17)

Пример 5.5. Найти производную функции

3. Если функция дифференцируема в данной точке , то в той же точке дифференцируема и функция представляющая собой произведение функции на константу . При этом данную константу можно вынести за знак производной:

(5.18)

Пример 5.6. Найти производную функции

4. Если в данной точке функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное , причем:

(5.19)

Пример 5.7. Найти производную функции

5. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в данной точке имеет производную , которая находится по следующей формуле:

(5.20)

Пример 5.8. Найти производную функции