Из определения скалярного произведения и формул (2.5), (2.9) следует, что

(2.10)

где угол между векторами .

2. Вычисление проекции одного вектора на другой

Из равенств (2.8) находим:

.

3. Условие перпендикулярности векторов

Используя свойство 1^о и формулу (2.9) , получаем:

Векторное произведение векторов и его свойства.

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот первого вектора ко второму виден из конца третьего вектора против часовой стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой.

Векторным произведением двух векторов называется третий вектор , удовлетворяющий условиям:

а) длина вектора вычисляется по формуле:

,

где угол между векторами .

Б) вектор перпендикулярен векторам ;

в) тройка векторов правая.

Обозначение: или .

Свойства векторного произведения векторов

1°. – коллинеарные векторы;

2°. ;

3°. ;

4°. .

Доказательство

Свойство 1°

Если хотя бы один из векторов нулевой, то свойство очевидно. Пусть , тогда:

если , то , либо – коллинеарны;

если коллинеарны,

то , либо .

Свойство 2^о

Пусть . Из определения векторного произведения векторов следует:

1) ;

2) ;

3) – правая тройка – левая тройка – правая тройка. Отсюда получаем:

.

Свойства 3^о, 4° доказать самостоятельно.

Найдем векторные произведения ортов осей координат:

(свойство 1°);

(правые тройки векторов);

(левые тройки векторов).

Используя полученные равенства, выразим векторное произведение через координаты сомножителей. Пусть , тогда, используя свойства 1^о – 4°, получаем:

Таким образом,

.

(2.11)

Основные приложения векторного произведения.

1. Вычисление площади треугольника (параллелограмма). Из курса математики средней школы известно, что площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, что совпадает с половиной модуля векторного произведения векторов, которые построены на сторонах треугольника. Таким образом,

,

где S площадь треугольника с вершинами в точках А, В, С, (рис. 2.9). 2) Вычисление высоты треугольника (параллелограмма).Вычислим площадь треугольника двумя способами:

,

где h – высота треугольника, опущенная из вершины В (рис. 2.9). Из этого равенства получаем:

.

Пример. 2.1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(1, 2, 3), С(3, 2, 1) и высоту, опущенную из вершины В на сторону АС (рис. 2.9).

Решение. Пусть , тогда

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Пусть – три произвольных вектора.

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, т.е., будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости.

Смешанным произведением векторов называется число равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор т.е. Геометрический смысл смешанного произведения определяется следующей теоремой.

Теорема 2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда V, построенного на векторах , взятому со знаком "+", если тройка векторов правая, и со знаком "–", если тройка векторов левая. Если векторы компланарны, то смешанное произведение рано нулю, т.е.

Доказательство

Пусть – некомпланарные векторы, образующие правую тройку. Обозначим через V объем параллелепипеда, построенного на векторах , через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах , через h – высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора , через – угол между векторами, , через – угол между векторами и (рис. 2.10). Тогда по определению скалярного и векторного произведений векторов находим:

но .

Пусть – некомпланарные векторы, образующие левую тройку, тогда векторы и образуют угол, равный , при этом , следовательно:

Пусть компланарны. Если , то утверждение очевидно. Пусть , тогда либо (если векторы коллинеарны) и , либо и тогда .

Верно и обратное последнему утверждение, т.е., если , то векторы компланарны. Действительно, если некомпланарны, то по теореме 2.1 , что противоречит условию .

Теорема 2.2. В смешанном произведении векторов знаки векторного и скалярного произведений можно поменять местами, т.е.

Доказательство. По свойству 2° скалярного произведения имеем:

По теореме 2.1

(2.12)

причем тройки векторов и одинаково ориентированы, т.е. если правая тройка, то и правая тройка, если левая тройка, то и левая тройка. Следовательно, в правых частях равенств (2.12) знаки одинаковые, т.е.

или

Так как справедлива теорема 2.2, смешанное произведение обозначают символом .

Найдем выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей. Пусть

тогда по формулам (2.9), (2.11) находим:

Основные приложения смешанного произведения векторов

1) Вычисление объема тетраэдра (параллелепипеда), построенного на векторах (рис. 2.10).Если векторы некомпланарны, то по теореме 2.1

. (2.13)

2) Вычисление высоты тетраэдра (параллелепипеда) (рис. 2.10). Вычислим объем тетраэдра двумя способами:

с одной стороны,

,

с другой стороны,

отсюда (высота параллелепипеда такая же);

3) Условие компланарности векторов (теорема 2.1):

– компланарны.

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань

Решение. Из вершины проведем векторы

Вычислив смешанное произведение векторов:

находим объем пирамиды согласно формуле:

,где

Высоту пирамиды можно вычислить по формуле:

, где

Таким образом, высота пирамиды равна: